复习线段的垂直平分线定理及其逆定理

一、 教学目标：1 、 知识目标：（1 ） 经历回顾与反思的过程， 深刻理解和掌握定理线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的探索与证明。（2） 能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直；2、 能力目标：（1 ） 通过例题的学习， 提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；（2） 提高综合运用知识的能力.3、 情感目标：（1 ） 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； （2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征. 教学重点： 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）教学难点： 定理及逆定理的关系教学用具： 直尺， 圆规 ， 计算机教学方法教学方法： 以学生为主体的讨论探索法以学生为主体的讨论探索法（一） 知识点整理与回顾1.线段垂直平分线的性质定理与判定定理的具体内容分别是什么？ 学习中应注意哪些问题？性质定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.判定定理： 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.如图， CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上任意一点垂直平分线的逆定理， PA、 PB有何关系？为什么？用法如图： ∵P在AB的垂直平分线上（已知）∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）注意： 该定理中的距离就是指两点间的距离。

即两点间的线段的长度， 不要和点到直线的距离产生混淆， 且该定理的条件“垂直、 平分、 点在直线上” 缺一不可。线端离逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.用法如图：∵PA=PB（已知）∴P在AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）等的点在线的直2.线段的垂直平分线定理与判定定理， 你是怎样理解他们的？ 与同伴交流。线段垂直平分线的性质定理与判定定理是一对互逆命题。 垂直平分线的逆定理实质上是等腰三角形的“三线合一” 的一种变形。 因此， 线段的垂直平分线定理的基本图形与三线合一的基本图相的直接用来形是相同的， 可以直接用来证明线段相等。 证明相等相等的方法很多， 除了常见的严格证明外，平移、 旋转、 轴对称中也存在相等的线段， 也可作为证明相等的一种方法。线段相等3.定理与逆定理的应用例1如图， △ABC中， ∠C＝900，∠A＝300， AB的垂线交AC于D，交AB于E.求证： AC＝3CD证明： ∵DE垂直平分AB∴AD＝BD∴∠1 ＝∠A＝300∵ ∠ABC＝900-300＝600∴∠2＝300 ∴CD＝BD2∴CD＝∴AD＝2CD 即AC＝3CDAD121例2： 已知： 如图， AD是△ABC的角平分线， DE、 DF分别是△ABD和△ACD的高.求证： AD垂直平分EF.证明： ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC（已知）∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴D在线段EF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）在Rt△ADE和Rt△ADF中AD=ADDE=DFDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF∴A点也在线段EF的垂直平分线上∵两点确定一条直线∴直线AD就是线段EF的垂直平分线4.理解性诊断与矫治4.理解性诊断与矫治： （(1 ） 如图， DE是△ABC边AB的垂直平分线， 交AB、 BC于E, DCAADE若BD=3， 则AD=______若∠B=40度， ∠BAC=70度， 则∠CAE=______度……；若AC=4， BC=5， 则△AEC的周长为_______（2） ①已知线段AB、 若CA=CB，问： 过C点的直线是不是线段AB的垂直平分线？ 为什么？ （找出反例即可）②若CA=CB垂直平分线的逆定理， DA=DB， 问过C和D两点的直线是不是线段AB的垂直平分线？ 为什么？B（二） 线段的垂直平分线的作法1 .怎样使用尺规作出已知线段的垂直平分线2.为什么这种作法是合理的？ 与同伴交流。

〔投影〕 作法以A、 B两点为圆心 ， 大于 MN为半径划弧， 使之交M、 N于两点作出过M、 N点的直线∴直线是MN的垂直平分线证明： 连接AM、 AN、 BM、 BN∵AM＝AN＝BM＝BN（辅助线作法）∴四边形ANBM是菱形（四边相等的四边形是菱形）∴MN垂直且平分AB（菱形的对角线互相垂直且平分）12MANB（三） 三角形三边的垂直平分线1 .三角形两边的垂直平分线的交点与第三边上垂直平分线有何关系？2.三角形三边的垂直平分线有何性质？3.三角形三边的垂直平分线的性质有何作用？4 怎样证明三线共点？4.怎样证明三线共点？可先找到两线的交点， 在用线段的垂直平分线定理证明第三线也过这一点即可 . 有线段垂直平分线时， 常见的作辅助线的方法如下： ①有线段垂直平分线时常把线段垂直平分线的点与线段的两个端点连接起来。 ②有垂直时常构造线段垂直平分线， 利用其性质证明。③有中点时常构造垂直平分线 ③有中点时常构造垂直平分线， 利用其性质证明。 强调说明： 定理与逆定理的联系与区别 相同点： 结构相同、 证明方法相同 不同点： 用途不同， 全者是用来证线段相等， 后者是用来证明点在线段的垂直平分线上。

利用其性质证明（四） 课堂小结：1 .线段垂直平分线性质定理和逆定理2.在应用时， 易忽略直接应用， 往往又重新证三角形的全等， 使计算或证明复杂化.3.证明某线段垂直平分另一条线段， 必须要证明线段至少有两个点在另一条线段的垂直平分线上。例子见例2 例子见例4. 线段的垂直平分线的作法5. 三角形三边的垂直平分线的性质以及应用（五） 作业：1 .思考： 三角形的三边的垂直平分线的交点与三角形的形状有何关系？ 与同伴交流2.已知， 如图AB=AC， BD=CD， P是AD上一点， 求证：∠ABC=∠ACPAPBDC3.四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB=900， E、 F分别是AB、 DC的中点， 连接DECE观察图形（提接DE、 CE。 观察图形（提示： 本题要用到直角三角形中， 斜边上的中线等于斜边的一半）（1 ） DE和CE相等吗？ 为什么？（2） EF是否垂直平分DC？请说明理由。CCDFAEB