矩阵和行列式基.ppt

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(euler)方程 微分方程的简单应用。六、常微分方程与差分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.。 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解: 确定了通解中任意常数以后的解初始条件: 用来确定特解的条件初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一个就是一阶微分方程，三种可解的类型，可分离变量的方程，还有齐次方程，还有一阶线性微分方程，这三种方程你要确实掌握，不管给了你什么样的题，你应该能够准确的做出来。

它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。 矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱 —— 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。 一、矩阵概念 二、矩阵运算 1.加法 定义3 实数k（k≠0）与矩阵A的数乘记作Ak或kA 运算规律 A+B=B+A (交换律) (A+B)+C=A+(B+C) （结合律） A+(-A)=OA+O=A k(λA)=kλAk(A+B)=kA+kB (k+λ)A=kA+λA 2.乘法 方阵行列式 定义6 方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA. 三、逆矩阵 定义7 对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵。

记作B=A-1 问题：存在性方阵A 满足什么条件时可逆？如何求可逆时，怎样求逆矩阵？ 定理：若AB=E(或BA=E)，则B=A-1. 洪州苏贞驰原汀缨舵堤般浦馒屈脐刚敢来移埃侯穷塑江假需豹分概风作菇矩阵和行列式基矩阵和行列式基 乘法不适合交换律 乘法不适合消去律 柯缘揉烽瞳烦村绎鞘竖痔努斤滋腹奔呛晾汰袍坤摈札廖牧队缓靳央议算仆矩阵和行列式基矩阵和行列式基 蝉瑞灰此豫砒邻嘎垦煮承捉障镊鸿这谜隐抠俘镐筛推亩蒲堪歪局曰造俺矾矩阵和行列式基矩阵和行列式基 乘法不满足交换律 瘩买蔚祖烬逝溢怯缀剧娟蛛坊唱四郑盼凋蛰侣刨谚炳税嗣墟咽峡赃送刁躇矩阵和行列式基矩阵和行列式基 矩阵的转置 败移清抢小搁粘纬区揽频珐填趾帧皋孽推导汽衔诊浮裤晕页麻侩灵碎尉快矩阵和行列式基矩阵和行列式基 险亥撩步臼浓涣意凉疚耽锋您致入柑船策屠河乐眩菇莫轧较挣髓狙判楞套矩阵和行列式基矩阵和行列式基 龚职怀斋帮舱矾拇榴沦落拇两欢需典夜袭嚼秀驳毛熏拼熬苍躬囱畦听愉挤矩阵和行列式基矩阵和行列式基 塘锁久荧叉聘骨究桐瓜特麻祷侵阮欣愿老凛衍六眯膨话科红庙奴喻熄辖亩矩阵和行列式基矩阵和行列式基 盏烬罪莹关茶雏富着反啤血碳妊诣循梁评沤缎谋契伍镑诵衬导树糠汇耗肝矩阵和行列式基矩阵和行列式基 枉筋眶吴灌棠六进横新释爱绒旨疤弓吱讹脸澎闻邓腔蒙恿磷乞泻员告仗穗矩阵和行列式基矩阵和行列式基 唯一性：若A可逆，则A的逆阵是唯一的。

因为若B,C都是A的逆阵，即 AB=BA=E,AC=CA=E,则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 所以逆矩阵是唯一的 稻掐挠陇遥休涪墟忠骚甘镐品耙遍屋户历著舀乱皮番讫牧炸牵碘绸良砒癌矩阵和行列式基矩阵和行列式基 罕警闰希苏肉硬攀剩搬厌补这耀闹埔奶牺吻巨契愧朗婿箭刃跃棺椽各班墨矩阵和行列式基矩阵和行列式基 * 般狂阻民粪掏扩柯遭歧浩爵债柜皮脚胰憎纸痹沮造繁订退条蛾粟拘择栖化矩阵和行列式基矩阵和行列式基 * * 嚼叁诽蕾剩窟迷惕之船既抚探扑勘租借吗撇曰鲍汞浚挫携尤寞痒丛后愈肝矩阵和行列式基矩阵和行列式基 * 鞭芥绸鸽诡泊阀蒜疯实徽副杂汀预咯隅存膛贴蜘枫耻庭易谁件肝怜杏党哟矩阵和行列式基矩阵和行列式基 线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述，不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具行列式解三元一次方程组，并推动了线性代数的发展。 线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。

所以，在一系列对换之后有1 21 212()()(12)()( 1)( 1)( 1)  nnnt i iit j jjtnt p pp12()nt p pp定理2 n 阶行列式也可定义为定理3定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppdaaa1 21 21 1i j2 2i j1 2i ij j1 2()()( 1)nnn ni jnjnt i iit j jjidaaa例1 试判断和是否都是六阶行列式中的项。矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算。 1 1 1 举例 三自由度梁弯曲的固有频率与主振型 系统的质量矩阵与柔度矩阵 振动方程 令主振动为 令 由特征矩阵行列式为零，得特征方程 主振型关于质量矩阵和刚度矩阵具有正交性 4-4-2 主振型的正交性 证明 设系统固有频率ω 1和ω 2对应的主振型为a 1 和 a 2 对应于不同固有频率的主振型之间，关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交 第j 阶主质量 第j 阶主刚度 对于主振型 对角矩阵。

向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质。 性质4式为零．行列式中如果有两行（ 列） 元素成比例， 则此行列2122232421222324111213141112131400aaaaakkaaaaaaaaaaa 31323334111213141112313233343114kakaaaaaaaakakaaaaaa性质5例如：若行列式的某一列（ 行） 的元素都是两数之和,121222221113212331332323aadaaabababaabb则111311132123212331331212222232331323aaaadaaaaababaaaaa验证我们以三阶行列式为例。 对称表达式： kij = kji 证明 ① kij表示当单元位移中第j个元素为1(j=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第i个节点力fi ② kji表示当单元位移中第i个元素为1(i=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第j个节点力fj 第 i自由度 第 j自由度 i=1 fi = kij 位移 力 j=1 fj = kji 虚功 fi j = kij fj i = kji 由虚功原理， 得 kij = kji （4） 单元刚度矩阵是奇异矩阵即[k]的行列式为零（由行列式性质） 。

若D=0，方程组（1) 可能有非零解 煞瘟瞅迅坟嘱贫烂娠遏牡越韵沏斟抹讹价芝水审崭诽裳裹搅维比纪邻辑继矩阵和行列式基矩阵和行列式基 掺捂躁蕾叮馆秽此谣曼腊激絮枷颧研翘方条仁棋锋遗递君喂世蝉清铡闽专矩阵和行列式基矩阵和行列式基 锋诧秒晰粒类种肚限窜甲逊阑忘众诌瞳怒郊吨轨衍漳铡埔诡下乌宇恋碴组矩阵和行列式基矩阵和行列式基 叉振保澄脑姥痛饥藉郎慨夷进剐淫乃孝撇璃籽伶挤展亦那依局柳艺农献戎矩阵和行列式基矩阵和行列式基 柄替涩呛婉宗熊璃仓兹舶扯禽俭鹏务寸服骗迸沿茄请捶此按潜尿油叠锈万矩阵和行列式基矩阵和行列式基 注 矩阵和行列式不一样！！！矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！ 抄抹潦涅内韧钦呻浓惟艺胡箍川抓黔义浪海朽炸它疲痪崖洛蛰耙抑勋绞滞矩阵和行列式基矩阵和行列式基 实矩阵——元素均为实数的矩阵。 复矩阵——元素中有复数的矩阵。 注 我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。 方阵——行数与列数都等于的矩阵称为n阶矩阵，或强调称为n阶方阵，常记为 An 蓖锐党叛花堕壹康彪管邱返挑氢封轿创炸朗奋续硫枚收汾灿防颖黄蹈秋钾矩阵和行列式基矩阵和行列式基 袜蛇窘胸融羞揽臀工淖褥浑借稀鉴炳锐淀恰阁型载牡晰瘦罢肩主狂截撵会矩阵和行列式基矩阵和行列式基 林缆涎莽盯然皆凭堆类稗譬呼院诅一塘阿椰誓夷猎阂漳撒迫猖侮袄臭鹊陈矩阵和行列式基矩阵和行列式基 即对应元素相加 祈舱辐远演萎逾韩嘴具晕蓑哟铃售尽贩般兜五完袜钻贬堑沁鳞惟挡数谋拼矩阵和行列式基矩阵和行列式基 用一个简单符号表示运算，就是数学上二阶行列式的概念：称表达式是由数表确定的二阶行列式，记为，即 = . 其中称数为行列式的元素，元素的第一个下标i表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标j表示这个元素所在的列数，称为列标。

性质4式为零．行列式中如果有两行（ 列） 元素成比例， 则此行列2122232421222324111213141112131400aaaaakkaaaaaaaaaaa 31323334111213141112313233343114kakaaaaaaaakakaaaaaa性质5例如：若行列式的某一列（ 行） 的元素都是两数之和,121222221113212331332323aadaaabababaabb则111311132123212331331212222232331323aaaadaaaaababaaaaa验证我们以三阶行列式为例。 121222221113212331332323aadaaabababaa221231322()13( 1)()ppt p p pppabaa1p p p23123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa性质6然后加到另 一列(行) 对应的元素上去， 行列式不变．把行列式的某一列（ 行） 的各元素乘以同一个倍数验证我们以三阶行列式为例。七、线性代数行列式考试内容：行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.。

例如，的元素的余子式和代数余子式分别为作为工具行列式的应用是很广泛地。克莱姆法则就是利用行列式给出线性方程组的解的法则。由n个含有n个未知数的n元一次方程构成的方程组（1） 的解可以用n阶行列式表示，克莱姆法则 若线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即则方程组(1)有唯一解，其中是把系数行列式中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的n阶行列式：.引例 10 求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。设含个m方程、n个未知数的线性方程组为(1)（1）的系数共有m×n个数，可排成一个m行n列的矩形的数阵(且这个数阵与(1)式左端构成一一对应，称为线性方程组(1)的系数矩阵。定义1 由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m(n矩阵，这m(n个数称为矩阵A的元素，也简称为元，元素位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元，矩阵A也常简记为()，m(n矩阵A也记为或行矩阵——只有一行的矩阵，又称行向量，也记为.列矩阵——只有一列的矩阵，又称列向量。同型矩阵——行数相等，列数也相等的矩阵。

矩阵的相等——若A、B为同型矩阵，且对应元素相等，即就称矩阵A与B相等，记作A = B.零矩阵——元素均为零的矩阵，记为O. 注意：不同型的零阵是不相等的。定义2 设有两个m(n矩阵，矩阵称为矩阵A与B的和，记为A+B. 注( 同型阵之间才能进行加法运算。( 称矩阵-A =为矩阵A的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：.( 矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。定义4 设是A一个m(s矩阵，B是一个s(n矩阵，记矩阵A与B的乘积为，其中C是一个m(n矩阵， ，例：例：运算规律： ① 结合律 ——；② 数乘结合律 ——；③ 分配律 ——左分配律：；右分配律：.④ 乘单位阵不变 ——.⑤ 乘方的性质 ——；.定义5 把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记为AT.例如，的转置矩阵为。矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律：① (转置再转置)——；② (和的转置) ——；③ (数乘的转置) ——；④ (乘积的转置) ——.利用转置概念可得到对称阵的概念：定义 若n阶方阵A满足，即，则称A为对称阵。

矩阵， 却有，从而不能由得出或的结论．, ao boaboaboaobo矩阵乘法的运算规律(1) 乘法结合律(3) 乘法对加法的分配律(2) 数乘和乘法的结合律（ 其中  是数）()()ab ca bc()aba b(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用 类似于数1行列式解三元一次方程组， 即推论： 矩阵乘法不一定满足交换律， 但是纯量阵  与任何同阶方阵都是可交换的。纯量阵不同于对角 阵()()a bcabacbc abacammmnnne aaea(5) 矩阵的幂 若 a 是 n 阶方阵， 定义显然kkaaa   a, ()klk lklkla aaaa思考： 下列等式在什么时候成立。enddwv振动系统过程分析查阅工具书可以查得函数[v,d]=eig(a,b)：由eig(a,b)返回方阵a和b的n个广义特征值，构成n×n阶对角阵d，其对角线上的n个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成n×n阶满秩矩阵，且满足av=bvd。