半正定的矩阵 刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)

2018 线性代数考前冲刺复习要点：一、行列式的计算1、数字型行列式（根据性质） 2、抽象型行列式 ①爪型行列式（例 1、例 2） 对于低阶(4 阶(含）以下）行列式，标准爪形利用对角线元素把第一行（列）化为只有 一个非零元素，非标准的爪形按照非零行（列)展开; 高阶的利用递推法或数学归纳法。 ②三条对角线型（例 3） 对于三对角线行列式，通过行列式性质可以利用对角线元素把对角线下方的元素划为 0，把行列式化成上三角行列式；或者利用递推和数学归纳法来证明。 ③每行（列）元素和相等的行列式 对于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第 1 行（列） ，提取公因子，然后 通过第 1 列（行）把行列式变成下（上）三角行列式进行计算。 ④范德蒙型行列式 通过行列式性质进行变形，把行列式变成范德蒙行列式进行计算。 ⑤拉普拉斯型行列式（例 4） 此行列式适合比较多的类型，通过行列互换，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。半正定的矩阵 3、矩阵行列式（例 7） 结合矩阵的运算，以及初等变换，来求行列式 4、已知特征值的矩阵行列式（例 6）nA ? ? ?i ，相似矩阵行列式相等i ?1若 A 与 B 相似，则 A ? B ，故可将 A 的行列式的计算转化为与其相似矩阵的行列式 进行计算.一般地， f ( A) ? f (B) ，其中 f ( A) 为矩阵 A 的多项式。

5、拉普拉斯矩阵的行列式A 0 0 B?A C 0 B?A 0 C B? A B其中 A, B 分别是两个方阵．O Bn?nAm?m O?O Bn?nAm?m C? ( ?1)mn A B二、矩阵1、矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，方阵行列式的计算n 注：对于 n 阶矩阵 A ， kA ? k A乘法不满足交换律? a1 ? ? b1 ? ?a ? ?b ? 2? ? ,? ? ? 2 ? ， 2、特殊向量的乘法 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? an ? ? bn ? ? a1 ? ? a1b1 a1b2 ?a ? ?a b a b ?? T ? ? 2 ? ? b1 b2 ? bn ? ? ? 2 1 2 2 ?? ? ?? ? ? ? ? ? an ? ? an b1 an b2若?T? a1bn ? ? a2bn ? ? ? ? ? ? ? an bn ?R(?? T )? 1? T ? ? ? T ? ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ? tr(?? T )T T ? ? ? ， ?? T 的一个非零特征值为 ? ； （因 ( ?? )? ? (? ? )? ? ?? ）T T T T特别的： ?? 的唯一一个非零特征值 ? ? ，又因为 ?? 是对称矩阵，因此 ?? 相似对角T 矩阵 ? ，且 R(?? ) ? R( ?) ? 1 ，故 ?? 的特征值为 ? ? 和 0( n ? 1 重） ；T T1 单位矩阵 E 的特征值为 1 （ n 重） ， 因此若 ? 为单位向量， 则 E ? ?? 的特征值为 0， （n ?1T重） ； E ? ?? 的特征值为 2，1（ n ? 1 重） ， R( E ? ?? ) ? nTT3、转置、可逆、伴随矩阵的性质( AT )T ? A, ( AB)T ? BT AT , (kA)T ? kAT , ( A ? B)T ? AT ? BT( A?1 ) ?1 ? A, ( AB) ?1 ? B ?1 A?1 , (kA) ?1 ?* ?1 ?1 * AA* ? A* A ? A E ， ( A ) ? ( A ) ?1 ?1 A , k( A?1 )T ? ( AT ) ?11 A ， ( A* )T ? ( AT )* ， ( AB)* ? B* A* A4、矩阵的初等变换 经过有限步初等变换得到的矩阵是等价的。半正定的矩阵