弧长的公式、扇形面积公式及其应用

长方体的体积=长×宽×高 公式:v=abh 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 公式:v=abh 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 公式:v=aaa 圆的周长=直径×π 公式:l=πd=2πr 圆的面积=半径×半径×π 公式:s=πr2 圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。勾股定理．分析：首先根据底面半径ob=3cm，高oc=4cm，求出圆锥的母线长用弧长公式表示扇形面积公式，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．解答：解：根据题意，由勾股定理可知bc2=bo2+co2．∴bc=5cm，2∴圆锥形漏斗的侧面积=π。例如，在教学人教版九年级上册《圆锥的侧面积公式》时，可以这样设计，课前让学生准备一个圆锥体，上课时，叫学生沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，观察圆锥的侧面展开图是一个怎样的图形，学生表现得很积极，纷纷动手探索，踊跃发表观点，教师让所有学生充分表现观点后，再点评，很显然，圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明 确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 4、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长， 若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则圆柱的侧面积 ，圆柱的全面积圆锥与圆柱的比较 名称Բ׶圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得 由一个矩形旋转得到的，如矩形 到的，如 Rt△SOA 绕直线 ABCD 绕直线 AB 旋转一周。 SO 旋转一周。 两个底面和一个侧面 矩形图形的组成 一个底面和一个侧面 侧 面 展 开 图 的 特 扇形 征 面积计算方法补充： 补充：知识点 5、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把 扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示， 例：如图所示，⊙O 的半径为 2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ （结果用 表示））分析：由图可知 由圆周角定理可知∠ABC＝ ∠AOC，所以∠ AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC 是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

注意：（1 圆周长、弧长、 圆面积、扇形面积的计算公式。 ：（ 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别ͼ ʾ面 积【典型例题 典型例题】 典型例题例 1.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积 是（ ）A. B. C. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为 分析： 所以 D. ，例 2.如图所示，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，连接 AC，BC，AB＝10 厘米，tan∠BAC＝ ， 求阴影部分的面积。分析： 分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为 90°，（2）解直角三角形的知识 （3）组合图形面积的计算。 解：因为 AB 为直径，所以∠ACB＝90°， 在 Rt△ABC 中，AB＝10， tan∠BAC＝ ，而 tan∠BAC＝ 设 BC＝3k，AC＝4k，（k 不为 0，且为正数）由勾股定理得 所以 BC＝6，AC＝8， 所以 例 3.如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角为直角，正方形 OCDE 内接于扇形 AOB，点 C，E，D 分别在 OA，OB 及 AB 弧上，过点 A 作 AF⊥ED 交 ED 的延长线于 F，垂足为 F，如果正方形的边 长为 1，那么阴影部分的面积为（ ） ，而分析： 连接 OD， 由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°， Rt△OED 中， 在 OD＝ 分析： 因为正方形的边长为 1，所以 OE＝DE＝1，所以，，设两部分阴影的面积中的一部，阴影部分面积可求，但这 分为 M，另一部分为 N，则 种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为 P，因为∠BOD＝∠DOC，所以 所以 M＝P，所以例 4. 如图所示，直角梯形 ABCD 中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以 BC 为轴把直角梯形 ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。

分析： 分析：将直角梯形 ABCD 绕 BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的， 所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。 解：作 DH⊥BC 于 H，所以 DH＝AB＝2 CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4 在△CDH 中， 所以 例 5.已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300 平方厘米 （1）求扇形的弧长。 （2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？分析： 分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径 R用弧长公式表示扇形面积公式，扇形的弧长可由弧长公式求得。 （2） 由此扇形卷成的圆锥如图所示， 这个圆锥的轴截面为等腰三角形 ABC， （1） 问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为 C＝2 r，底面圆半径 r 即 CD 的 长可求，圆锥的高 AD 可在 Rt△ADC 中求得，所以 解：（1）设扇形的半径为 R，由 ，得 可求。 ，解得 R＝30.所以扇形的弧长 （厘米）。 （2）如图所示，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长 C＝2 r， 因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以 在 Rt△ADC 中，高 AD＝ 所以轴截面面积 （平方厘米）。

【模拟试题】 模拟试题】一、选择题 1. 若一个扇形的圆心角是 45°，面积为 2л，则这个扇形的半径是（ A. 4 B. 2 C. 47л D. 2 л 2. 扇形的圆心角是 60°，则扇形的面积是所在图面积的（ B. C. D. A. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ） ））A. 90° B. C. D.180° 4. 两同心圆的圆心是 O，大圆的半径是以 OA，OB 分别交小圆于点 M， N．已知大圆半径是 小圆半径的 3 倍，则扇形 OAB 的面积是扇形 OMN 的面积的（ ） A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍 5. 半圆 O 的直径为 6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ） A. C. B. D.6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1∶ 2，则它们的高之比为（ ） A. 2：1 B. 3：2 C. 2 ： D. 5： 9. 如图，在△ABC 中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以 AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧 面积为 S1，以 BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为 S2，则（ ） A. S1＝S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2 D. S1、S2 的大小关系不确定二、填空题 1. 扇形的弧长是 12лcm，其圆心角是 90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积 2 是 cm . 2. 扇形的半径是一个圆的半径的 3 倍， 且扇形面积等于圆面积， 则扇形的圆心角是 . 2 3. 已知扇形面积是 12cm ，半径为 8cm，则扇形周长为 . 4 在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥， 把 其全面积为 S2， S1：S2＝ 则 。

体积为___________.2、柱、锥、台、球的侧面积、表面积、体积计算公式：圆柱圆锥圆台图形侧面积s圆柱侧=2s圆锥侧=s圆台侧=表面积s圆柱表=2s圆锥表=s圆台表=体积探究：（1）等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积比为____________，等底、等高的圆锥、棱锥之间的体积比为____________。 3、 质疑答辩、 排难解惑、 发展思维 （1） 教师引导学生探究圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图的结构， 并归纳出其表面积的计算公式: )''22rll rrrs （圆台表面积1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 r（2） 组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: 'l rrrs （)'22rl圆台表面积 r1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。