三角函数和差化积与积化和差公式（附证明和记忆方法）

和差化积和积化和差公式

正弦、余弦的和差化积

【注意右式前的负号】

证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

context.rotate(θ)等同于 context.transform(math.cos(θ*math.pi/180)，math.sin(θ*math.pi/180),-math.sin(θ*math.pi/180),math.cos(θ*math.pi/180)，0，0）或 context.transform(-math.sin(θ*math.pi/180),math.cos(θ*math.pi/180)，math.cos(θ*math.pi/180)，math.sin(θ*math.pi/180), 0，0）。解析： (1)∵a· b＝(cos α，sin α)· β，sin β) (cos 2 ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝ ， 2。2cos 2000πt sin 2π×8 ×10 ×t 50[cos 2000πt cos 2π×8 ×105 ×t +sin 2000πt sin 2π×8 ×105 ×t ] 5 5 +100[sin 2000πt cos 2π×8×10 ×t 。

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设α+β=θ，α-β=φ

那么，

把α，β的值代入，即得

1－cos α ＝ ＝ 2sin αcos α sin α α 2 α ＝ α α＝ α＝tan2 2sin cos cos 2 2 2 2sin2 sin α 2。 5( ) ( ) cos(2 8 10 ) ( )sin(2 8 10 )下 π× × × =+ π× × ×s t m t t m t t2 250(cos 2000πt +2sin 2000πt) cos(2π×8 ×105 ×t)5+50(sin 2000πt 。1 2 4 2 角，∴cos α＝－ ，∴sin α＝－ ，∴sin α＝5. 5 5 sin 2α 2sin αcos α ∴tan 2α＝cos 2α＝ 2 cos α－sin2α 2。

正切和差化积

tanα±tanβ=

cotα±cotβ=

tanα+cotβ=

tanα-cotβ=

证明：左边=tanα±tanβ=

=

==右边

在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

记忆口诀（正弦余弦）

正加正积化和差 和差化积公式，正在前，余加余，余并肩

正减正，余在前积化和差 和差化积公式，余减余，负正弦

生动的口诀：

帅+帅=帅哥

帅-帅=哥帅

咕+咕=咕咕

哥-哥=负嫂嫂

（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）

或写作：（注意：此时公式前有负号）

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：