三角函数和差化积公式的推导 高中三角函数解题模型及技巧

关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 ?一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；

2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；

4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

点击查看：高中数学反三角函数公式总结

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;

2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。三角函数和差化积公式的推导

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;

2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

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三角函数模型归纳

有关三角函数的运算，当只出现一个未知角，但伴随与特殊角的组合或多种三角函数综合使用使三角运算丰富多样，要解决这些问题，我们需要掌握一个基本原则，那就是“化简”，使用的公式包括同角三角函数基本关系式和诱导公式.

同角三角函数基本关系式有两个：sin2α+cos2α=1，tan α=sinα

cosα在使用同角三角函数基本关系式的时候需

要注意：（1）多种函数同时出现时，要正切化弦；（2）正余弦互求时，通过角的范围确定正负． 诱导公式比较多，总的口诀是：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇偶”是指在未知角上附加的角是π2的多少倍，如果是奇数倍，名称需要改变，如果是偶数倍，名称不改变；“符号看象限”是指借助当未知角为锐角时，组合角所在象限所决定的三角函数的正负，来确定是否添加负号. 例如sin(π2+α) 中，未知角α上附加的角符号看象限是π2的一倍

三角函数解题心得技巧

理解记忆，结合图像理解，开始慢点写，一步一步来，建系、画图，甚至描点之类的。了解为什么要这么做，这么做有什么好处。三角函数和差化积公式的推导然后记忆公式，多做题目，也别盲目做题，要做那些经典例题，1-2题，到位就行了，理解就够了，做多了反而浪费时间。

三角函数要记住三角恒等变换的一些式子，最好记下和差化积、积化和差公式（记不住不是什么大问题），记住辅助角公式，然后在脑海中自然建立模型。知道平移之类的，就差不多够了。最值问题就是[-1,1]最常见啦。