解读：人教版教材“一次函数”内容探讨及课堂建议

吴增生（浙江省仙居县教研室）

摘要：函数是初中阶段的核心内容，“一次函数”具有基础性和典型性的特征。现对于不同的内容给出相应的教学建议，体现一次函数以及图像性质的探究步骤，方法带有一般性，以及对写实思想、模型思想与对应思想等的渗透.用平台思维的看法分析教材中“一次函数”中不同内容的重点和难点，理清本章内容不同课时的课堂思路，用简洁而质朴的课时教学整体推动“一次函数”的教育价值.

关键词：一次函数；内容探讨；教学建议

一、对教材中函数相关内容调整的理解

人教版《义务教育教科书·数学》（简称人教版《教科书》）对函数内容的整体安排做了下面调整：（1）“一次函数”内容调整至八年级下册；（2）“二次函数”内容调整至九年级上册；（3）“反比例函数”内容调整到九年级下册.将函数的内容后移有利于学生积累更多的数学学习心得，为推动从常量到函数的学习留出时间，让学生对函数的学习奠定扎实的思维发展基础.“二次函数”内容的前移既确保了函数学习的连续性，又解决了人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》中九年级下册内容侧重的问题.“反比例函数”内容从八年级下册移到九年级下册，使大学函数的学习从线性到非线性，从连续到不连续，这种内容的调整最符合学生学习的心理规律跟英语内容的演进过程,同时关注到与其它学科（特别是科学）相关内容的衔接.

人教版《教科书》在重视物理观念方法(如对应思想、模型思想跟数形结合思想)的同时，注重对变量的本质属性（如模型属性、函数的增减性等）的探讨，适当增加了变量图象的几何属性要求(如增加了渐近性等几何属性的要求).

二、对本章主要内容以及互相关系的理解

本章的主要内容：变量与常量的涵义，函数的概念以及表示方式，一次函数.

本章内容分为三大节：19.1函数；19.2一次函数；19.3课题学习：选择方案.其中19.1介绍的是数组和常量，函数以及表示方式；19.2着重研究更简单的方程建模，即一次函数；19.3重点学习利用一次函数的相关常识解决实际问题，属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中的“综合与实践”领域.这些内容之间的关系如图1所示.

本章内容仍然表现了《标准（2011年版）》中所提及的三个数学基本观念，即抽象、推理和建模的观念.抽象的思想集中表现在借助用变量描述差异过程，归纳其对应关系的抽象函数概念的过程，在这一过程中，人教版《教科书》聚焦了差异跟变量的本质属性，凸显了变量研究中的对应思想，这是由抽象思维派生出来的物理观念.推理的思想集中表现在观察图像推测性质跟对变量、方程、不等式关系的探究过程,在这种内容中，还非常突显了数形结合的观念.模型思想集中表现在按照实际语境建立方程建模，用一次函数知识解决实际问题的过程.

三、各节内容探讨及教学建议

第一节：19.1函数

本节内容包含函数与常量的涵义，函数的概念以及表示方式.

1.教材内容分析

人教版《教科书》先借助章引言让学生感受差异的世界及探究这种差异规律的变量方式.具体内容的展开从变量开始，结合实例介绍变量跟常量的含义，并在此基础上逐渐抽象函数的概念.在介绍函数概念时，先研究可用推导计算的函数关系，让学生借助公式推导和列表，归纳其共同特点，即两个变量的互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确认的值与之对应.接着，让学生观察用图像跟表格表示的函数关系，让学生感受函数概念的确认方式也可以借助图像跟表格的方法进行. 这种用推导确定另一个变量的值到不需要用推导也可确认另一个变量的值的分步抽象安排是合理的.没有用推导确定函数的值的概括，学生就无法准确理解何为“唯一确认”的对应关系；没有剥离“用公式表示”这一变量非本质属性的概括，学生对“对应”关系的理解就缺少一般性.

集合对应观点下的变量概念，包括三个要素,即定义域、值域和对应法则. 基于大学教师的思维水平跟《标准（2011年版）》的规定，教材采取了数组学说下的变量定义，不提值域，淡化定义域，只涉及简单实际问题的自变量取值范围. 在产生变量概念后，教材结合实例呈现了变量的三种基本表示方式，即解析式法、列表法和图象法. 其中方程解析式在“19.1.1变量与方程”中呈现，表格法跟图象法在“19.1.2函数的图像”中呈现.

2.教学建议

（1）本节内容建议教学时间为6课时，具体分配如下.

“19.1.1变量与数组”3课时,其中函数跟常量1课时, 函数的概念1课时, 函数的解析式及自变量取值范围1课时.“19.1.2函数的图像”3课时，其中函数图像的了解（函数图象概念及图像阅读）1课时，用描点法画函数图像1课时, 综合利用三种变量表示方式剖析函数关系1课时.

（2）在“变量与常量”的教学中，要营造各种差异的情景令学生深刻感受到运动变化的普遍性，在此基础上重点鼓励学生用数量描述差异过程（这是用化学方式探究运动变化过程的必定要求），体会变量的真正意义. 应该使学生感受到用次数表示差异过程是必要的、自然的，变量表示的是一个可以在必定范围内差异的数，它的值可以有多个，而常量则表示一个具体的数目，它的值只能是一个. 需要强调的是，不要让学生按照给定的方程关系式找函数跟常量，这样既没有意义，又有违数学逻辑. 因为先有数组,然后有变量,再有函数表示法（包括解析式）.

“函数的概念”的课堂是本节内容中的核心. 教学中必须使教师体会到，虽然万物变化，但差异通常是有规律的，对变量之间互相依存关系的探究是掌握变化规律的还要. 本节课课堂的重点是要设计好理解函数概念的两次活动, 即变量概念的判别和例子表明活动. 需要借助丰富的例子，让学生深刻理解变量概念中的差异跟对应，特别是理解“一对一对应”的意思.

在“函数的解析式及自变量取值范围”的教学中，应该关注函数概念认识的推动，通过例子使学生认识到自变量的取值常常是有限制的，如果超过一定的范围，则对应的变量值或许不存在或不唯一或没有实际含义，由此引入对变量自变量取值范围的探讨；同时借助教材第73页例1的课堂让学员体会用式子表示方程关系的优势，了解方程的解析式的概念，体会用函数解析式研究函数的技巧跟步骤.

在“函数图像的了解”的教学中，重点是使学生认识函数图像的意义，并初步学习通过变量图象获取信息，体会图象表示方程关系的直观性. 对变量图象意义的理解，关键是使学生了解在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，以对应的变量值为纵坐标，随着自变量的差异，对应的函数值也逐渐变迁，在坐标平面内就发生了由点动而成的图形，这个图形叫做方程的图像. 在本节课的课堂中，除了练习学生对变量图象的阅读理解素养外，教师还要设计适当的训练，让学生感受到函数图像上点的坐标一定满足函数关系，满足方程关系的变量值为坐标的点一定在函数图象上.

在“用描点法画函数图象”的教学中，要注重使学生经历用描点法画具体函数图像的过程，学会画函数图像，并推论出用描点法画函数图像的通常方法，即列表，描点，连线. 通过画图操作，让学生感受到画函数图像的过程只能画出图像上的有限个点，但这并不影响用数组图象反映变量的差异规律跟变化趋势的直观性.而增加函数研究的精确性，则可以结合图像上点的坐标的含义解读对解析式或对应值表进行总量关系的研究.

在“综合利用三种变量表示方式剖析函数关系”的课堂中，要营造适当的弊端情境，结合例题教学，引导学员综合利用数组三种表示方式探讨变量之间的对应关系跟变化规律，体会函数建模的核心价值在于按照个别差异过程分析整体变化规律. 特别应加强的是要按照个别变量对应值表，在平面直角坐标系中画出散点图，然后借助连线并观察，用适度的函数解析式表示，确定变量的差异规律与变迁趋势，这是应用变量建模解决难题的重要手段，这里渗透着变量建模的基本观念跟数形结合的思想.

第二节：19.2一次函数

1.教材内容分析

本节内容包含正比例函数的概念及图像性质；一次函数的概念及图像性质；一次函数与函数、不等式之间的关系.

一次函数是很简单的方程建模，其图像特征是一条直线.学生在学习了函数的通常知识后，通过对准确函数建模的探究，体会函数研究的通常技巧跟步骤，这有利于学习心得的累积和迁移.

人教版《教科书》先研究正比例函数，再研究一次函数，采用了从特殊到通常的展现形式.这种方法的益处是方便进行类比学习.研究的方法是 “下定义—画图像—概括性质”，研究的方式是数形结合.这种变量研究的流程跟步骤具有一般性，它广泛应用于其他变量建模的探究过程中.

函数、方程跟不等式都是表示数量关系的重要物理建模，如果用变量观点看，则可把等式、不等式统一到变量上.从解析式看，二元一次方程与相应的一次函数表示同样的数量关系；二元一次方程组表示两个一次方程在同样的自变量取值下有同样的函数值；方程是已知变量值为某一具体数值时求自变量的值的问题；不等式是已知函数值在某一取值范围内研究自变量取值范围的问题.从图像上看，二元一次方程和一次方程都可以用一条直线表示；二元一次方程组的解就是相应的两个一次方程图象的端点坐标；一元一次方程的解能看作是相应的一次方程图象与x轴交点的横坐标；一元一次不等式的解集可以看做相应的一次方程图象与x轴交点的左侧部分.从变量之间的差异规律看，函数是对整体差异规律的塑造；方程是对准确对应值关系的描绘；不等式是对局部对应关系的刻画.

2.教学建议

本节内容建议教学时间为6课时.具体分配如下.

“19.2.1正比例函数”2课时，其中概念教学1课时，图象性质1课时；“19.2.2一次函数”3课时，其中概念1课时，图象性质2课时；“19.2.3一次函数和代数、不等式”1课时.

19.2.1正比例函数.正比例函数是最简单的一次函数，引导学员回顾小学中学习过的正比例关系，并用函数的看法去再次思考问题，这有利于学生的学习.教学中应加强引导学员体会函数研究的通常技巧跟步骤.

在“正比例函数概念”的教学中，核心任务是结合实际问题引导学生用变量的看法去看学校学过的正比例关系，通过函数解析式表示，在推导解析式的共同特点中抽象出正比例函数的概念.

19.2.2一次函数.一次导数的学习可以类比正比例函数进行.在一次方程概念的课堂中，核心的学习活动是使学生观察变量的差异规律，列出函数解析式，通过推导函数解析式的共性概括一次函数的概念.在课堂中，重点是推导函数解析式的共同特点，其次还必须借助动画显示让学生感受差异跟对应.在对准确实例的剖析中，首先应使学生辨别是否是变量，其次再用解析式表示，最后使学生概括函数解析式的共同特点.另外，还必须使学生从解析式中体会一次函数的线性特性，如教材第89页问题2中“海拔每升高1km，气温骤降6°C”就带有显著的线性特性，可以把海拔差异跟温度变化列成表1，让学生观察并感受“海拔每升高1km，气温骤降6°C”的线性含义.在此基础上再引导学生列出方程解析式，并从函数解析式角度感受那种线性变化过程（函数值的差异量与自变量的变化量的差值是系数k）.

表1：问题2中海拔高度差异与气温对应关系

在细化某一变化过程中变量关系是一次函数关系的状况下，可以按照两对对应值求出变量解析式，从而掌握整体的差异规律，这就是求一次函数解析式的待定系数法.根据图像上两点的坐标确定一次函数解析式也为“两点确定一条直线”这一几何公理做出了很高的代数解析.这种研究详细问题中函数关系的过程安排在一次函数图像性质的第2课时.

19.2.3一次函数与代数、不等式.一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程（组），这些“一次”模型既是描述数量关系的物理建模，又有着内在的必定联系.一次函数与函数、不等式联系的结点是一次方程与二元一次方程之间的关系.如果用方程的观点看一次函数教案格式一次函数教案格式，每一个一次函数的解析式都是一个二元一次方程，用方程的观点看，每一个二元一次方程都可以看作一个一次函数.有了这一联系节点，则可以从数跟形两个方面建立一次导数与函数、不等式之间的联系.

因此，在本节内容的课堂中，重点是从数跟形两方面探讨一次导数与函数、不等式之间的关系，关键是应鼓励学生从数跟形两个方面理解一次函数与二元一次方程之间的关系.

第三节：19.3 课题学习：选择方案

1.教材内容分析

本节的主要内容是：用变量思想解决方案选择问题.

利用变量建模解决难题的基本过程是：（1）设变量，建立方程关系，把实际问题转换为变量问题；（2）研究函数性质，分析变量之间的对应关系跟变化规律；（3）解释变量分析结果的实际含义，得到实际问题的解.

2.教学建议

课题学习是对应于《标准（2011年版）》中“综合与实践”领域目标而设置的教学活动，其核心教育价值是利用所学习的常识发现、提出、分析跟解决难题，它是知识应用活动的延续和演进，但学习的侧重点不同.知识的应用学习着重于常识，而缓解问题的学习则着重于缓解问题的思维操作学习.本节内容的课堂中，应该设计解决难题的各类认知活动，如困惑感知，问题表征，分析问题产生策略，实施策略解决难题，在线监控和检测等感知活动，而不合适运用问题变式，层层铺垫，肢解问题的教学方法.例如，在课本第102页问题1.

问题1：怎样选择上网收费模式？

如下表2给出A,B,C三种上宽带网的收费模式.

表2

选取哪种方法最省钱？

解决难题的教学过程中，设计下面的教学活动：

（1）创设情境，提出问题.

先用引言进行先行组织:做一件事情，有时有不同的推进方案．比较这种方案，从中选择最佳方案成为行动计划，是相当必要的．应用数学的常识和技巧对各类方案进行非常分析，可以帮助我们知道地了解各种方案，做出理智的决策.然后再出示教材中的问题1.

（2）理解问题，明确目标.

教师鼓励学员通过阅读问题明确问题的起点（条件）和目标，即确立根据省钱原则选取最佳方案.让学生确立：目标是找到最省钱的方案.

（3）分析问题，规划模式.

教师鼓励学员思考三种方案的成本计算方式，并经历“图示—表格—函数解析式表示”等不断精细化、定量化的数学表示过程，适当表示三种方案的成本，从而看到解决难题的模式，建立相应的变量建模，并非常三种状况下变量值的大小.

（4）建立模型，解决难题.

到此处，已经把实际问题转换为不同函数的变量值大小相当问题.

引导学生运用一次函数的剖析方法跟相关常识分析这三个函数的差异规律，根据问题情境确定不同通话时间下选取哪种方案最省钱.

（5）反思与评估.

在受到问题的解后，要组织学员回顾解题方案的产生过程，总结出运用函数知识解决实际问题的通常技巧跟步骤：（1）设变量（自变量和因变量），建立函数关系，把实际问题转换为变量问题；（2）研究函数性质，分析变量之间的对应关系跟变化规律；（3）解释变量分析结果的实际含义，得到实际问题的解.

参考文献：

[1] 教育部基础教育课程课本专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》 解读 [M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] （美）莫里斯·克莱因.古今数学思想（三）[M]. 张理京、张锦炎、江泽涵,译.上海：上海科学技术出版社 ，2002.

[3]课程读本研究所等.《义务教育·教科书》教师课堂教材（八年级下册）[M].北京： 人民教育出版社，2014.