第一章（绝对误差，相对误差，有效数字）.doc

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有.即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字=2，相对误差限（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2m-n=-5, m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字=2，相对误差限=0.0025(3) ∵ 9000=0.9000×104, m=4，m-n=0, m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字＝0.000056(4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4， m-n=-2, m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0，精确到的近似值是多少？解 精确到＝0.001，即绝对误差限是(＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2(0.6932.1 用二分法求方程在(1, 2(的近似根，要求误差不超过至少要二分多少？解：给定误差限(＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 只要取k满足即可，亦即 只要取n＝10.2.3 证明方程1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f(x)＝1－x－sinx，∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f ((x)=-1－cosx<0 (x([0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限(＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 只要取k满足即可，亦即 只要取n＝14.2.4 方程在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1），迭代公式 （2），迭代公式（3），迭代公式 （4），迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

解：（1）令，则，由于，因而迭代收敛。 （2）令，则，由于 迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。 （3）令，则，由于 迭代发散。（4）令，则，由于迭代发散。具体计算时选第二种迭代格式绝对误差和相对误差公式， n=0,1,…计算结果如下：2.5 对于迭代函数，试讨论：当C取何值时，产生的序列收敛于；C取何值时收敛速度最快？解：（1），，由已知条件知，当，即时，迭代收敛。 （2）当时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即，所以时收敛最快。2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：(1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算.解：（1）令，取，则 迭代格式为注：若令，取，则，显然迭代格式不法不符合题意。 （2） 令，取，则 迭代格式2.10 设。写出解的Newton迭代格式。证明此迭代格式是线性收敛的。解：因，故，由Newton迭代公式： 得 以下证明此格式是线性收敛的因迭代函数而又则 故此迭代格式是线性收敛的。 第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去，得 第二步列选主元，将第二和第三行交换，再消去，得 回代求解得3.3 用高斯-约当法求逆矩阵 解：则 3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组 解 设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即 将右端两矩阵相乘后比较两端，可得再求解方程组LY=b, UX=Y, 即： 先由前一个方程组求得，代入后一个方程组，求得原方程的解为 3.7 证明对任意非奇异矩阵A、B有 证：等式成立3.8 证明对任意非奇异矩阵A有 证：因为 所以 3.9 设A、B∈为非奇异矩阵，证明Cond(A)≥1，Cond(A)= Cond(A-1)；Cond()=Cond(A)，；Cond(AB)≤Cond(A) Cond(B)。

证：(1)(2) (3) 3.10 设线性方程组为试求系数矩阵A的条件数；若右端向量有扰动，试估计解的相对误差。解：（1）（2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计，由解向量的精度的估计式： 第四章 解线性方程组的迭代法习题及解答4.1 用Jacobi迭代格式解方程组 要求解 Jacobi迭代格式为 取初始迭代向量绝对误差和相对误差公式，迭代结果为： …… 由于所以满足要求的解为 4.2 用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组要求解：建立高斯—塞德尔迭代格式： 取初始迭代向量，迭代结果为：故方程组的近似解为4.4 线性方程组的系数矩阵为A＝试求能使雅可比迭代法收敛的的取值范围。解 当时，雅可比迭代矩阵B＝ 得，故，由，得，即时，，雅可比迭代法收敛。4.6 设线性方程组 试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的的取值范围。解 高斯－赛德尔迭代矩阵它的特征多项式为其特征值为当时，，高斯－赛德尔迭代收敛。 第五章 插值与曲线拟合习题与解答5.1 已知函数y=f(x)的观测数据为xk－2045yk51－31试构造不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的惟一性，再计算f(－1)的近似值.。

解 （1）建立拉格朗日插值多项式：构造基函数所求三次多项式为P3(x)= ＝＋+＋＝（2）建立牛顿插值多项式：建立差商表为 xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商-2501-24-3-11/651415/42牛顿插值多项式为(3) 惟一性验证：将拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式比较它们是完全一样的，这一结论和插值多项式的惟一性一致。（4）计算f(－1)(5.6 设，试利用拉格朗日余项定理给出以 -1，0，1，2为节点的三次插值多项式P(x)。解 根据拉格朗日余项定理5.10 若，求和。解 ，=0 5.13 求满足以下条件的Hermite插值多项式010112解 令所求插值多项式为依所给插值条件有由此解出 故有 第六章数值积分与微分习题与解答6.1 用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分，并估计各种方法的误差（保留5位小数）解 记a=0, b=1, , 则 则梯形公式 其误差为 辛卜生公式 其误差为 柯特斯公式 其误差为 6.2 试确定求积公式的代数精度.[依定义，对xk (k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]解 当f(x)取1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立.(1) 取f(x)=1, 有左边＝, 右边＝(2) 取f(x)=x, 有左边＝, 右边＝(3) 取f(x)=x2, 有左边=, 右边=(4) 取f(x)=x3, 有左边=, 右边=(5) 取f(x)=x4, 有左边=, 右边=当k(3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度 6.3 用代数精度定义直接验证辛卜生公式 具有3次代数精度。

有界性，即误差很大的概率几乎为零．从随机误差分布规律可知，增加测量次数，并按统计理论对测量结果进行处理可以减小随机误差．三、精密度、精确度与准确度用同一测量工具与方法在同一条件下多次测量，如果测量值随机误差小，即每次测量结果涨落小，说明测量重复性好，称为测量精密度好也称稳定度好，因此，测量偶然误差的大小反映了测量的精密度．根据误差理论可知，当测量次数无限增多的情况下，可以使随机误差趋于零，而获得的测量结果与真值偏离程度——测量准确度，将从根本上取决于系统误差的大小，因而系统误差大小反映了测量可能达到的准确程度．精确度是测量的准确度与精密度的总称，在实际测量中，影响精确度的可能主要是系统误差，也可能主要是随机误差，当然也可能两者对测量精确度影响都不可忽略．在某些测量仪器中，常用精度这一概念，实际上包括了系统误差与随机误差两个方面，例如常用的仪表就常以精度划分仪表等级．仪表精确度简称精度，又称准确度。 齿轮精度的分类 齿轮的精度大致可以分为三类 渐开线齿形的正确度——齿形精度 齿面上齿线的正确度——齿线精度 齿/齿槽位置的正确度 轮齿的分度精度——单齿距精度 齿距的正确度——累积齿距精度 夹在两齿轮的测球在半径方向位 置的偏差——径向跳动精度 齿形误差 齿线误差 齿距误差 在以齿轮轴为中心的测定圆周上测量齿距值。当 adc 位数从 6位到 16 位均匀变化时，波长解调误差从 41. 37 ～3 3 6 激 光 与 红 外 no． 5 2017 李 跃等 量化噪声对 fbg 波长解调的精度影响及误差分析0. 34 pm 呈指数下降，标准差从 15. 49 ～0. 10 pm 呈指数下降。

【注2】对于一些不能直接使用格林公式的被积表达式，借助被积函数积分定义在积分曲线上，满足描述积分曲线的方程，通过描述积分曲线的方程，变换、化简被积表达式，即可以起到化简计算的目的，也可能通过变换使得被积函数符合格林公式的条件，进而可以考虑使用格林公式来计算曲线积分。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

... 4 3 2 1 1 2 ) ( ) ( 2 3 3 2 2 0 2 0 - - - = - - - h h i h t t h a a 即： romberg求积算法 以复合梯形公式算法为例介绍： 将[a,b]n等分，h为步长，复合梯形公式为 若将[a,b]2n等分，即将求积区间[xk,xk+1]再二分一次，只增加一个分点xk+1/2=(xk+xk+1)/2，用复合梯形公式求得该区间的积分值为： 分析误差： 假定 则 则有 即 若t2n与tn接近，则t2n误差很小。 同时有限元解中通常包含多种误差（例如计算机的截断误差和舍入误差） ， 因此有限元解收敛于精确解，在更严格意义上说是问题的有限元解的离散化误差趋于零。3，i角的器材校准流程i角的检验是利用水准观测中前后视距相等i角误差为零的原理，先用钢尺量一段距离，在该段中央架设机器，两端安置水准尺，测出前后端点的高差，然后在前后某一端点旁架设机器，再测一次前后端点的高差，极其两次高差，按照公式求出i角，假如i角高于15”则需要器材校正。