2022年2月12日┃论文写作┃从解题者到教学设计者的嬗变——谈数学解题类教学论

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从解题者到教学设计者的嬗变

——谈数学解题类教学论文的写法

吕增锋

象山县第二中学正高级教师

摘要：解题类教学论文虽然好写，但很多教师却写不好，究其原因是只关注解法却忽视了教法，论文中的解题方法如果没有经过实践的检验就无法证明其教学价值.文章通过精选问题、研究解法、设计教法、撰写心法的写作过程，让教师从单纯的解题者转变为教学设计者，促使论文写作的重心从罗列解法到研究教法的转变，最终实现“教什么写什么，写什么教什么”.

关键词：解题者；教学设计者；解题教学类论文

解题不仅是数学教学的重要组成部分，而且也是中小学教师论文写作的主要对象.相对于其他类别的论文，数学解题类论文具有门槛低、易上手的特点，尤其是对初次体验论文写作的新手教师而言，不妨就从写解题类论文开始.虽说解题类论文容易写，但也需要遵循一定的章法.有些教师解题水平很高，但写出的解题类论文就是达不到发表的要求；有些教师费尽功夫获得了一套解题策略，但网上一查发现别人早已捷足先登.数学解题类论文撰写容易、发表困难是摆在广大教师心中的“一道坎”，该如何“逾越”？我们知道小说的精彩程度取决于“人物、情节、环境”等诸多变量的共同作用，论文写作也是如此，包含的“变量”越多，可供选择的写作视角就越多.解题方法看似数不胜数，但经过归纳整理，你会发现很多题型的解法从本质上讲区别不大，不外乎“数”与“形”，因此，解题实际上面对的是题型或题目这单一“变量”，这也就意味着从解题者视角来撰写论文很难有重大突破与创新.以教学者的视角来写论文就不一样，学生、教师、理念、情境、问题、外部环境等诸多“变量”交织在一起，“教学有法，教无定法”，论文写作的视野一下子得到拓宽.因此，笔者认为越过解题类论文这道“坎”的关键是教师要从单纯的解题者转变为教学的设计者，把“解题类论文”升级为“解题教学类论文”.下面笔者结合文献[1]的写作过程，谈谈对此的看法.

一、精选问题，明确写作的价值解题教学类论文写作的第一步是选题.并非所有的数学问题都有写作价值，一般需要具备三大特征：首先，题目要“典型”，典型意味着可推广，推广体现价值，价值决定论文的参考性；其次，题目要有一定的“难度”，难度驱动研究，研究产生成果，成果决定论文的学术性；最后，题目要相对“新颖”，新颖产生联想，联想促使发散，发散性决定论文的创新性.显然，高考或者模拟考中的压轴题、创新题是论文选题的最大来源.由于命题的趋势在不断变化，这就使得论文选题不得不面对时效性的问题，有些所谓“难题”“新题”可能过一段时间就不再“难”，也不再“新”.因此，解题教学类论文的选题还需与时俱进.

题目如图1，设椭圆x2/a2+y2=1(其中a>1)..1）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；

2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.（2016年浙江省数学高考理科试题第19题）写作价值分析分析学生第2）小题的答题情况，发现得分率很低，再看标准答案，发现需要进行非常复杂的分类讨论，解答过程十分繁琐，因此，此题应属于“难题”无疑.对于这样的问题，其写作价值可以体现在两个方面：一是如何对解题过程进行优化；二是如何帮助学生突破思维障碍.

二、研究解法，探寻写作的方向

问题确定好后，教师要尝试用不同的思路去研究解题方法.有时会获得多种解法，很多教师认为把这些解法罗列出来就是一篇“论文”了.其实不然，论文并非“教辅资料”，需要提供大量的解法供学生参考，论文的读者是教师或者专家，他们所关注的并非是解法的数量，而是更在乎是否能从这些眼花缭乱的解法中获得有价值的解题套路.那么，如何提炼解题套路呢？首先，把解法罗列出来，接着按照“数”与“形”的视角进行归类；然后，合并相似解法，让不同解法之间的差异性得到凸显，再按照一定的认知逻辑对解法进行排序，比如，先通法后巧法、先一般后特殊、先“数”后“形”；最后，通过比较分析这些解法的共性与个性，获得浓缩众多解题方法的智慧精华于一体，能够解决某一类问题的一般化解题套路.通过研究，发现上述问题除了标准答案外，还有另外3种解法，笔者把它们从难到易进行了排序，发现要快速解决此题需要用到以下结论：结论1椭圆x2/a2+y2/b2=1(其中a>b>0)，直线经过椭圆短轴顶点并与椭圆相交.1）当b≤c时，直线被椭圆截得的最大弦长为d=a2/c，即为该顶点到准线的距离；2）当b＞c时，直线被椭圆截得的最大弦长为d=2b，即为短轴长.这个结论虽然容易证明，学生理解起来也并不困难，但如果没有搞清楚题目中“圆的半径”“交点个数”“离心率”三者之间的联系，学生即使知道这个结论也不会想到去用.因此，论文写作的方向就是逐步揭示“圆的半径”“交点个数”“离心率”三者之间关系，在优化解题的过程中使关系逐渐指向“结论”，最后使学生明确此类问题的本质.

三、设计教法，搭建写作的框架在实际教学中，经常会发生“教师讲了好多遍，学生就是容易遗忘、无法掌握”的现象，究其原因很可能是教法不当所致。学生的学习并非“有输入即有输出”那么简单，而是需要经历复杂的意义建构过程。“解题套路”只是教师在排除一切干扰因素后的理想化假设，其是否具有可操作性、是否真的有价值，还需要把“解题套路”纳入到教学情境中进行具体化设计，即思考通过怎样的学习途径让学生掌握解题套路，这才是解题教学类论文写作的核心。那么，如何设计教法呢？第一步，了解学生的已有经验。“学生经验是教育的起点”[2]，同时也是论文写作的起点。通过分析学生经验，有助于明确“解题套路”所需要的认知水平与学生已有认知水平的差距，从而为解题教学类论文写作起点的确定提供现实依据。“联立获得特征方程—韦达定理—设而不求教案的理论依据怎么写，整体代换”是学生解决圆锥曲线综合题的解题经验，但如果不能深入理解上述问题的题意，即使有解题经验也鞭长莫及。因此，这个现实背景需要在论文中得到明确。第二步，寻找教学的理论依据。只有实践层面的描述而没有理论层面的论证的论文是不具备科学性的，也不足以令人信服，因为你只能说明“是什么”的问题，而无法解释“为什么”的问题。

因此，为“解题套路”的教学寻找一个可靠的理论依据，不仅可以证明你的教学设计是有理可循的，而且反过来也可以从教学理论出发来设计相对科学的教学流程。上述问题的突破口在于学生对于图形位置关系的直观理解，即如何感知图形的位置变化来确定圆与椭圆的交点个数，考查的是学生对图形的动态想象能力。2016年“核心素养”理论刚刚提出，笔者认为这个问题可以置于直观想象核心素养的视野下进行深入剖析。第三步，设计教学的流程。教学流程的设计要紧扣教学理论，教学理论中的一些核心理念、关键语句一定要在教学流程中得到凸显，这可以避免论文写作中“说一套，做一套”、理论与实践脱节的现象。与核心素养相关的教学论文近几年出了很多，但其中一些论文除了题目有“核心素养”4个字外，文章内容却没有体现核心素养的关键要素，让读者一头雾水。要写好核心素养论文首先要理解其内涵，比如，“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程[3]。“直观想象”定义中几个关键词：“几何直观、空间想象、图形理解、形态与变化”需要特别关注，它们不仅反映了直观想象核心素养的基本特征，同时也暗示了其培养路径。笔者联系解题过程，围绕“关键词”提炼基于“直观想象”核心素养的解题教学流程：1）利用图形描述，理解问题本质；2）挖掘几何意义，建立数形联系；3）运用动态想象，揭示运动规律；4）深入问题源头，获得直观模型。

第四步，甄选辅助例题。解题套路一般不可能通过一个问题就能够得以澄清，还需要根据教学的实际需求来选择辅助例题。比如，引出研究主题用哪个例题，从哪些例题提炼方法策略，用哪些例题来实现内化提升等，把例题放到教学流程中对应位置，让它们各司其职。至此，论文的基本框架也就搭建好了。由于本题中的“结论”学生较难想到，笔者设计了一个相对特殊的问题作为铺垫。此题的类型与解题思路和高考题基本一致，也可以看作是高考题的“源头”。铺垫性问题若以原点为圆心、椭圆的半焦距长c为半径的圆与该椭圆有4个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为________。

四、撰写心法，分享智慧的成果最后，进入语言组织与文字撰写环节.有些教师认为自己文字功底不好很难胜任这个工作，这也是很多教师不敢动手写论文的主要原因.其实，教学论文的写作一般不需要多高的文字技巧，也用不到华丽的辞藻，其基本要求就是能够讲清楚所要表达的观点.而解题教学类论文的文字要求相对更低，就是围绕着问题用概括性的语言描述“解题套路”的教学过程.当然，解题教学类论文的撰写也是有一定的“套路”的.解题教学类论文的“开头”一定要澄清研究的背景，比如，阐述为什么研究这类问题，其中蕴含着什么价值；为什么要运用这个理论进行教学设计，其具有什么优势；当前“解题教学”的现状如何，存在什么问题，如何进行改进等.“万事开头难”，论文写作也是如此，好的“开头”能够自然引出论文写作的主题，激发读者的阅读兴趣.笔者是这样写论文开头的“在数学解题中，直观想象更是不可或缺的重要思维与工具.很多看似复杂，无从下手的数学问题，借助直观想象就很容易获得解题的捷径”.从宏观上看，解题教学类论文“中间部分”的撰写都可以按照“呈现问题一提炼策略—推广应用”的顺序进行阐述，但如果大家都这样做，所有的解题教学类论文就会变成从“一个模子刻出来”，因此，需要从微观上紧扣所用到的教学理论对论文的“中间部分”进行细致刻画，从而使论文的特色得到凸显.在具体写作中，很多教师喜欢把教学的“细节”，包括“师生对话”都一一描写出来.这种做法未必值得借鉴，除非这些“细节”“师生对话”直接影响文章观点的呈现，否则就没必要着墨过多，因为读者关心的并不是“细节”教案的理论依据怎么写，而是隐藏在教学背后的诸多“为什么”，以及教学理论、理念与观点.

笔者并没有把写作重心放在“教学细节”上，而是立足“直观想象”核心素养解题教学的“4个步骤”，结合直观想象的内涵阐述教学设计思路；借助直观想象实现对解题方法的优化，获得有用的“结论”、揭示问题的真相；通过对问题的探究使学生获得“基于直观想象核心素养”的解题策略.这就是文献[1]的“立意”之所在，显然，比单纯的解题要更加高明.不难发现，论文写作与课堂教学本质上是一回事，即怎么教，就怎么写.唯一的差异就是论文需要把隐藏在教学中的教学理论、理念、意图用文字的形式加以呈现，让读者能够“知其然知其所以然”.如果教学是完全出于教师个人经验的率性行为，那么教师就很难写出高质量的论文，反过来说，论文写得好也能够提升教师的教学水平，促使教学走向理性、走向科学.本文来源：中学教研(数学),2020(10):35-37.↑欢迎关注视频号↑

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