总结方法：对数及对数函数教案_高一语文_数学_高中教育_教育专区

对数教学目的： （1）理解对数的概念； （2）能够表明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转换． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、引入课题 1． （对数的由来）价绍对数产生的历史背景与概念的产生过程，体会引入对数的必要 性； 设计动机：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学探究精神． 2． 尝试解决本小节开始强调的问题． 二、新课教学 1．对数的概念 一般地，如果 a = N (a > 0, a ≠ 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（Logarithm） ， ． ．．x记作：x = log a Na — 底数， N — 真数， log a N — 对数式1 说明：○ 注意底数的限制 a > 0 ，且 a ≠ 1 ；x 2 ○ a = N ? log a N = x ；3 ○ 注意对数的书写格式． 1 思考：○ 为什么对数的定义中规定底数 a > 0 ，且 a ≠ 1 ； 2 ○ 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计动机：正确理解对数定义中底数的限制，为现在对数型函数定义域的确认作准备． 两个重要对数： 1 ○ 常用对数（common logarithm） ：以 10 为底的对数 lg N ； 2 ○ 自然对数（natural logarithm） ：以无理数 e = 2.71828? 为底的对数的对数 ln N ． 2． 对数式与指数式的互化log a N = x?ax = N对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例 1． （教材 P73 例 1） 巩固练习： （教材 P74 练习 1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明： 本例题和训练均使教师独立阅读思考完成， 并强调对数式与指数式的互化中要注 意这些问题． 3． 对数的性质 （学生活动） 1 ○ 阅读教材 P73 例 2，指出其中求 x 的根据； 2 ○ 独立构想完成教材 P74 练习 3、4，指出其中蕴含的推论 对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零： log a 1 = 0 ； （3）底数的对数是 1： log a a = 1 ； （4）对数恒等式： a （5） log a a = n ．nlog a N=N；三、归纳总结，强化思想 1 ○ 引入对数的必要性； 2 ○ 指数与对数的关系； 3 ○ 对数的基本性质． 四、作业布置 教材 P86 习题 2．2（A 组） 第 1、2 题， 组） 第 1 题． （B 课题：§2.2.1 对数的运算性质 教学目的： （1）理解对数的运算性质； （2）知道用换底公式能将通常对数转换成自然对数或常用对数； （3）通过阅读材料，了解对数的看到历史及其对简化运算的作用． 教学重点：对数的运算性质，用换底公式将通常对数转换成自然对数或常见对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 教学过程： 五、引入课题 3． 对数的定义： a = N ? log a N = b ；b4． 对数恒等式： alog a N= N , log a a b = b ；六、新课教学 1．对数的运算性质 提出疑问： 根据对数的定义及对数与指数的关系解答以下问题：m+n 1 ○ 设 log a 2 = m ， log a 3 = n ，求 a ；2 ○ 设 log a M = m ，log a N = n对数函数教案下载，试利用 m 、 n 表示 log a ( M · N ) ． （学生独立探讨完成解答， 教师组织师生讨论解析， 进行推导总结概括得出对数的运算 性质１，并引导学生仿此公式其余运算性质）运算性质： 如果 a > 0 ，且 a ≠ 1 ， M > 0 ， N > 0 ，那么： 1 ○ log a ( M · N ) = log a M ＋ log a N ； 2 ○ log aM = log a M － log a N ； N(n ∈ R) ．n 3 ○ log a M = n log a M（引导学生用自然语言叙述里面的三个运算性质） 学生活动： 1 ； ○ 阅读教材Ｐ75 例 3、4， 设计意图：在应用过程中进一步理解跟掌握对数的运算性质． 2 ○ 完成教材Ｐ79 练习 1~3 设计意图：在训练中反馈学生对对数运算性质把握的状况，巩固所学知识． 4． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值 设计动机：学会运用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方式． 思考：对于本小节开始的难题中，可否运用计算器求解 log1.01 公式． 5． 换底公式18 的值？从而采用换底 13log a b =log c b （ a > 0 ，且 a ≠ 1 ； c > 0 ，且 c ≠ 1 ； b > 0 ） ． log c a学生活动 1 ○ 根据对数的定义计算对数的换底公式． 设计动机：了解换底公式的推论过程与观念方法，深刻理解指数与对数的关系． 2 ○ 思考完成教材 P76 问题（即本小节开始强调的问题） ； 3 ○ 利用换底公式推导以下的推论 （1） log a m b =nn log a b ； m（2） log a b =1 ． log b a设计动机：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用． 说明：利用换底公式解题时经常换成常用对数，但有时还要按照详细题目确定底数． 6． 课堂练习 1 ○ 教材Ｐ79 练习 4 2 ○ 已知 lg 2 = 0.3010, lg 3 = 0.4771, 试求： 12的值。

lg 3 ○ 试求： lg 2 2 + lg 2 ? lg 5 + lg 5 的值。 （对换 5 与 2，再试一试） 4 3ab ○ a + b = lg 3 2 + lg 3 5 + 3 lg 2 ? lg 5，试求： + a 3 + b 3的值。 5 ○ 设 lg 2 = a , lg 3 = b ，试用 a 、 b 表示 log 5 12七、归纳总结，强化思想 本节主要学习了对数的运算性质跟换底公式的推论与应用， 在课堂中应用多帮学员创造 尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更要加强渗透转化的观念方法． 八、作业布置 1． 基础题：教材 P86 习题 2．2（A 组） 第 3 ~5、11 题； 2． 提高题： 1 ○ 设 log 8 3 = a , log 3 5 = b ，试用 a 、 b 表示 lg 5 ；b 2 ○ 设 log14 7 = a , 14 = 5 ，试用 a 、 b 表示 log 35 28 ； a b c 3 ○ 设 a 、 b 、 c 为正数，且 3 = 4 = 6 ，求证：1 1 1 ? = ． c a 2b3． 课外思考题： 设正整数 a 、 b 、 c （ a ≤ b ≤ c ）和实数 x 、 y 、 z 、 ω 满足：1 1 1 1 a x = b y = c z = 30 ω ， + + = ， x y z ω求 a 、 b 、 c 的值． 对数函数 教学任务： （1）通过详细例子，直观认识对数函数模型所描绘的数目关系，初步理解对数函 数的概念，体会对数函数是一类重要的变量模型； （2） 能通过计算器或计算机画出准确对数函数的图像， 探索并知道对数函数的单 调性与特殊点； （3）通过非常、对照的方式，引导学生结合图像类比指数函数，探索研究对数函 数的性质，培养教师数形结合的观念方法，学会研究变量性质的方式． 教学重点：掌握对数函数的图像跟性质． 教学难点：对数函数的定义，对数函数的图像和性质及应用． 教学过程： 九、引入课题 1． （知识技巧准备） 1 ○ 学习指数函数时，对其性质研究了这些内容，采取怎样的方式？ 设计动机：结合指数函数，让学生了解针对函数性质的探究内容，熟练研究变量性质的 方法——借助图像研究性质． 2 ○ 对数的定义以及对底数的限制． 设计动机：为讲解对数函数时对底数的限制做打算． 2． （引例） 教材 P81 引例 处理建议：在课堂时，可以使学生运用计算器填写下表： 碳 14 的浓度 P 生物死亡年数 t 然后鼓励学生观察上表，体会“对每一个碳 14 的浓度 P 的取值，通过对应关 系 t = log5730 1 20.50.30.10.010.001P， 生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应， 从而 t 是 P 的函数” ． （进而引入对数函数的概念） 十、新课教学 （一）对数函数的概念 1．定义：函数 y = log a x(a > 0 ，且 a ≠ 1) 叫做对数函数（logarithmic function） 其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞） ． 注意：1 对数函数的定义与指数方程类似， ○ 都是形式定义， 注意区分． y = 2 log 2 x ， 如：y = log 5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 52 ○ 对数函数对底数的限制： ( a > 0 ，且 a ≠ 1) ．巩固练习： （教材 P68 例 2、3） （二）对数函数的图像跟性质 问题：你可类比前面讨论指数变量性质的策略，提出研究对数函数性质的内容跟步骤 吗？ 研究方式：画出变量的图像，结合图象研究变量的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： 1 ○ 在同一坐标系中画出以下对数函数的图像； （可用描点法， 也能通过科学计算器 或计算机） （1） y = log 2 x （2） y = log 1 x2（3） y = log 3 x （4） y = log 1 x32 ○ 类比指数函数图象和性质的探究，研究对数函数的性质并核对如下表格： 图象特性 函数性质a >10 00 0x > 1, log a x 0, 且 a ≠ 0) 有 什么 关系？ 图象之间既有哪些特殊的关系？（ 3 ） 以 y = log 2 x, y = log 5 x, y = lg x 的 图 象 为 基 础 ，在 同 一 坐 标 系 中 画 出y = log 1 x, y = log 1 x, y = log 1 x 的图象．2 5 10（4）已知变量 y = log a1 x, y = log a2 x, y = log a3 x, y = log a4 x 的图象，则底数之 间的关系： ． 教y = loga 1 x y = loga 2 x y = loga 3 x y = loga 4 x2． 完成下表（对数函数 y = log a x ( a > 0, 且 a ≠ 0) 的图象和性质）0 0 时 ， y ∈ ；当 x >1 时， ．y∈；当 0 4 时，y ∈1 ○ 已 知 函 数 y = log 1 x对数函数教案下载， 则 当 0 1 时， ；y∈；当 x > 5 时， y ∈ ．；当 0 2 时， x ∈ 十四、 应用举例1 例1． 比较大小：○ log a π ， log a e ( a > 0, 且 a ≠ 0) ； 2 ○ log 2 解： （略） 例 2．已知 log a (3a ? 1) 恒为正数，求 a 的取值范围． 解： （略） [总结点评]： （由学生独立构想，师生共同归纳概括） ． ． 例 3．求函数 f ( x ) = lg( ? x 2 + 8 x ? 7) 的定义域及函数． 解： （略）1 ， log 2 ( a 2 + a + 1) ( a ∈ R ) ． 2注意：函数斜率的求法． 例 4． （1）函数 y = log a x 在[2，4]上的最大值比最小值大 1，求 a 的值； （2）求函数 y = log 3 ( x + 6 x + 10) 的最小值．2解： （略） 注意：利用变量单调性求函数最值的方式，复合函数最值的求法． 例 5． （2003 年上海高考题）已知变量 f ( x ) = 并讨论它的奇偶性和单调性． 解： （略） 注意：判断方程奇偶性和单调性的技巧，规范判断函数奇偶性和单调性的方法． 例 6．求函数 f ( x ) y = log 0.2 ( ? x + 4 x + 5) 的单调区间．21 1+ x ? log 2 ，求函数 f (x ) 的定义域， x 1? x解： （略） 注意：复合函数单调性的求法及规律： “同增异减” ． 练习：求方程 y = log 1 (3 ? 2 x ? x ) 的单调区间．2 2十五、 作业布置 考试卷一套 对数函数 教学目标： 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系， 了解反函数的概念， 加深对变量的 模型化思想的理解． 过程与技巧 通过作图，体会两种变量的单调性的优劣． 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一． 教学重点： 重点 难两种变量的内在联系，反函数的概念． 难点 反函数的概念． 教学程序与环节设计： 创设情境 由方程的见解分析解法，引出反函数的概念．组织研究两种变量的内在联系，图象关系．尝试训练简单的反导数问题，单调性问题．教学过程与操作设计： 环节 材料一： 当生物死亡后， 它机体内原有的碳 14 会按确定 的规律衰减， 大约每经过 5730 年衰减为原本的一半， 师：引导学员分析归 纳，总结概括得出结 这个时间称为“半衰期” ．根据些规律，人们获得了 论： P 生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系． 回 （1） 和 t 之间的对应 关系是一一对应； 答下列问题： （2） 关于 t 是指数函 P （1）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含 量 P，并用函数的见解来解释 P 和 t 之间的关系， 指出是我们所学过的什么函数？ （2）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求 创 该生物死亡的年数 t， 并用函数的见解来解释 P 和 t 之间的关系，指出是我们所学过的什么函数？ 设 （3）这两个函数有哪些特殊的关系？ （4）用映射的看法来解释 P 和 t 之间的对应关 情 系是什么对应关系？ （5）由此你可获取怎样的启示？ 境 材料二： 由对数函数的定义可知，对数函数 y = log 2 x 是把指数函数 y = 2 x 中的自变量与因函数对调位置 而得出的，在列表画 y = log 2 x 的图象时，也是把 指数函数 y = 2 x 的对应值表里的 x 和 y 的数值对 换，而得到对数函数 y = log 2 x 的对应值表，如下： 数 P = (5730 呈现教学材料 师生互动设计 生：独立构想完成，讨 论展示并预测自己的 结果．1 x ) ； 2t 关于 P 是对数函数t = log57301 2x ，它们的底数相同， 所表述的都 是碳 14 的衰变过程中， 碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系； （3）本问题中的同底 数的指数函数和对数 函数， 是表述同一种关 系（碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应关 系）的不同数学建模．表一y = 2x ．环节呈现教学材料师生互动设计 生：仿照材料一分析： 1 2 2 4 3 8 … …xy… …-3-2-10 11 81 41 2y = 2 x 与 y = log 2 x的关系．表二y = log 2 x ．… … -3 -2 -1 0 1 1 2 2 4 3 8 … … 师：引导学员分析，讲 评得出结论， 进而引发 反函数的概念．xy1 81 41 2在同一坐标系中，用描点法画出图像． 师：说明： （1）互为反函数的两 个变量是定义域、 值域 相互交换， 对应法则互 逆的两个函数； （2）由反函数的概念 可知 “单调函数一定有 反函数” ； （3）互为反函数的两 个变量是表述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型． 师： 引导学员探索研究 材料二． 生：分组讨论材料二， 选出代表详述各自的 结论， 师生一同评述归组织 探究材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 因变量成为一个新的方程的自变量，而把这个方程 的自变量作为新的方程的因函数，我们称这两个函 数互为反函数． 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对 数变量互为反函数． 材料二：以 y = 2 x 与 y = log 2 x 为例研究互为 反函数的两个函数的图像跟性质有哪些特殊的联 系？纳． 尝试 练习 巩固 反思 作业 反馈 环节 求以下方程的反函数： （1） y = 3 x ； （2） y = log 6 x 生：独立完成．从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数 函数的定义、图象、性质作一小结． 1． 求以下方程的反函数：x y1 32 53 74 9 师生互动设计 3 7 4 9 答案： 1．互换 x 、 y 的数值．呈现教学材料x y1 32 52． （1）试着举几个满足“对定义域内任意常数 a、b，都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ． ”的 2．略． 函数实例，你可写出这种函数带有这些共同性质 吗？ （2） 试着举几个满足 “对定义域内任意常数 a、 b，都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ． ”的变量 实例，你可写出这种函数带有这些共同性质吗？ 我们了解， 指数函数 y = a x ( a > 0 ， a ≠ 1) 与 且 对数函数 y = log a x (a > 0 ，且 a ≠ 1) 互为反函数， 那么，它们的图象有哪些关系呢？运用所学的物理 知识，探索下面几个问题，亲自看到其中的奥秘吧！ 问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数 函数 y = 2 x 及其反函数 y = log 2 x 的图象，你能发 现这两个函数的图像有哪些特殊的对称性吗？ 课外 活动 问题 2 取 y = 2 图象上的几个点，说出他们x关于直线 y = x 的对称点的坐标，并推断他们能否 在 y = log 2 x 的图象上，为什么？ 问题 3 如果 P0（x0，y0）在方程 y = 2 x 的图象 上 ， 那 么 P0 关 于 直 线 y = x 的 对 称 点 在 函 数结论： 互为反函数的两 个变量的图像关于直 线 y = x 对称．y = log 2 x 的图象上吗，为什么？问题 4 由上述研究过程可以受到哪些结论？ 问题 5 上述推论对于指数函数 y = a x(a > 0 ， 且 a ≠ 1) 及 其 反 函 数y = log a x(a > 0 ，且 a ≠ 1) 也成立吗？为什么？