立足教材 凸显本质——《对数函数的图像与性质》的教学新设计

高中2019 年 12 月高中为了提升广东省佛山市高中数学教学水平，佛山市教育局教研室彭海燕副主任邀请我们为全区的初中语文老师做一个基于高中数学新课标和新丛书的课堂设计示范案例，并于2019年10月17日上午在佛山市第四中学面向全区的初中语文学科组长和骨干校长上了公开示范课，引发了你们的质疑。以下是我们按照追求数学能力的教学设计标准 咱1暂 设计的教案和思考，希望广大观众指责指正。一尧教案设计揖教材铱人教A版（2007年版）普通学校英语必修一2。2。2（课时安排）第1课时。揖教材分析铱 将复杂的变量问题化归为简单的基本初等函数问题，是探究函数的核心模式。对数函数就是一种重要的基本初等函数。本节内容是在学习对数的概念跟运算性质后，进一步学习对数函数的定义、图像、性质及初步应用。对数函数的图象与性质的学习过程与指数变量部分类似，注重学生参与研究的过程，因此可以类比进行教学。揖学情分析铱（1）认知基础：学生即将学习了指数函数的概念跟图像、对数的概念，积累了研究指数变量性质的心得。这些是学习对数函数的概念以及性质的基础。（2）认知障碍：函数概念的本质；指数函数与对数函数互为反函数的理解；容易忽视底数a对图像的影响。

揖教学目标铱1。知识与技能（1）理解对数函数的定义，深刻了解变量的本质（具体内容见问题2之后）；熟悉指数函数、对数函数增长快慢的差别；知道指数函数与对数函数互为反函数。（2）掌握对数函数的图像跟性质，会用其非常对数的大小。2。过程与技巧（1）通过问题2和3的探讨过程，提高教师的函数素养；（2）通过问题4的强调、分析、解决过程，进一步加强应用变量建模解决特殊问题的一般化思想跟问题解决中的化归思想。3。情感态度与价值观（1）让学生喜欢对数、对数函数；（2）感受对数运算强大的简化、压缩功能；（3）感受指数函数、幂函数、对数函数增长快慢的很大差别。揖教学重点铱对数函数的定义跟性质。揖教学难点铱（1）指数方程与对数函数互为反函数；（2）底数a的大小与变量图像差异。揖关键铱利用对数跟指数的互逆关系解释变量概念的本质突破瓶颈（1）；利用几何画板直观演示底数a的差异对变量图像的制约来突破瓶颈（2）。揖教学方法铱问题驱动、概念同化、引导研究。教学方法：PPT、几何画板。揖教学流程设计铱问 题 引 入探 究 发 现巩 固 应 用小结及作业设计动机院通过对变量的定义的解读得到对数函数，加深对变量定义的理解，也有助于学生产生系统的常识结构，体会知识的融会贯通。

设计动机院学生在研究对数函数图像的过程中，充分感受从特殊到通常的过程，从而给与对数函数的图象，并类比指数函数的探讨方式，得到对数函数的性质。设计动机院学生通过求方程定义域，加深对对数函数的理解；通过非常两个同底对数的大小，熟悉对数函数的性质。通过指数函数、幂函数、对数函数增长快慢的很大差别，感受对数运算强大的简化、压缩功能。设计动机院小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程，学习数学观念；并借助“无穷酒杯”的形象形容，使学生对变量图像的理解更直观，更深切。作业意在使师生进一步熟悉对数函数的图像以及性质。立足教材 凸显本质要要 要 叶对数函数的图象与性质曳的教学新设计筅广 东 省 佛 山 市 第 四 中 学 彭晓燕筅华南师范大学数学科学学院 何小亚教材教法教学导航3高中2019 年 12 月高中揖教学过程设计铱1。问题采用渊10分钟冤问题1院什么叫做指数函数，它有哪些性质？教师鼓励学员回答并显示表格内容。a>1 00时对数函数教案下载，y>1当x1当x>0时对数函数教案下载，01 01 时，y>0当 00当 x>1 时，ylog 0。5 8。5。（2）因为log a 3。4跟log a 8。5可以看成函数y=log a x的两个函数值，当a>1时，因为变量y=log a x在（0，+肄）上是增函数，且3。

4log a 8。5。小结院相当同底数的两个对数的大小，可运用对数函数的单调性，要注意底数的范围。学生活动：牛刀小试。（1）函数y=log 711-3x的定义域为_______；函数y=1log 2 x的定义域为______。（2）已知log 0。3 m跃log 0。3 n，比较m，n的大小。问题8院随着x的无限增大，三个函数y=10 x ，y=x，y=lgx的函数值y的大小关系是哪个？2B图 2y=lgxy=xy=10 x4682 4 6 8yx O教师活动： （1）几何画板显示图像，直接指出三个函数值的大小排序；（2）引导学生口算：当x取0。001，0。01，0。1，1，10，100，1000，…，一千万时，常用对数函数值分别是-3，-2，-1，0，1，2，3，…，7来说明y=lgx几乎是贴着x轴增长至无穷大的。教师总结：看到没有，一个如此疯狂大的数，一旦被取对数后就被压缩得这么之小！在数学家眼里，取对数就是一台功能超强的压缩机！我好喜欢，好宠爱，好膜拜这台疯狂的压缩机！同学们，你呢？4。归纳总结渊5分钟冤小结院（1）函数的庐山真面目是哪个？函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确认的数与之对应；函数概念中两个变量的符号不是固定的。

函数虽然就是一个系统，一台机器，它由两个变量，两个非空数集，对应法则f构成，不能把函数值f （x）当成函数，也不能把对应法则f当成函数。我们可以说一个变量是另一个变量的数组，但不能把形参x、y当成函数，因为数组不是变量，而是一个系统。（2）我们为什么要学习指数函数、对数函数？指数函数和对数函数都是函数家族中更简洁的函数。在物理世界跟真实世界中，有许多难题最终应化归为复杂的函数问题，而面对复杂的变量问题，我们需要将其化归为简单的变量问题，从而让困惑获解。这一观念在例2中受到了充分展现。（3）如何记住指数函数、对数函数的性质？用几何画板显示（见几何画板文件“指数函数对数函数图像”），把底数是a跃1和1a的指数函数的图象，放在同一坐标系中合出来就是一个无穷酒杯图，观察指数变量图像，a越大，酒杯越瘦，a越小，酒杯越肥。由于对数函数是把指数函数中的x和y交换后得起来的，我们就把放到x轴上的酒杯，如此贴着y轴放置，就教材教法教学导航5大学2019 年 12 月高中得到了一只横放的无穷酒杯，同样，a越大，酒杯越瘦，由此解释两种类别的变量的图像跟性质。图 3OA24图 4O-225通过“横放的无穷酒杯”，可以更直观地感受对数函数的定义域、值域、单调性、函数值的取值范围等。

（4）指数函数y=a x 与对数函数y=log a x互为反函数。当x无限增大时，三个函数y=lgx，y=10 x ，y=x的变量值大小关系是哪个？10 x 远远小于x，同时x也远远小于lgx。而且y=lgx几乎是贴着x轴增长至无穷大的，所以取对数就是一台功能超强的“压缩机”！作业院1。课本P74习题2。2A组第7、8题。2。分别相当log 0。8 1。3，log 0。5 0。7，log 2 3的大小。3。课后探究：指数函数与对数函数互为反函数，那么他们的图像有哪些联系？揖设计动机铱小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程，学习数学观念；并借助“无穷酒杯”的形象跟内容的深刻编码，实现终身记忆指数函数、对数函数中四类函数的图象和性质之目标。 作业1意在让学生进一步加强对数函数的图像以及性质；作业2意在提高学生的难题解决能力；作业3意在掌握结论：互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。二尧设计说明（1）对数及对数函数的概念是非常写实的，其教学需要遵守大道至简的方法，不能用繁琐的、复杂的死亡生物体内碳14元素的检测案例来采用。我们拒绝简单问题复杂化和复杂难题复杂化的教材撰写和教学设计！（2）设计时，我们删除了判断诸如函数y=log 2 （4-x）是不是对数函数的难题，因为这不是一个好的数学问题。

（如果学生问到此难题，教师可以根据此标准回答：指数函数、幂函数、对数函数的定义都是形式定义，对于形式定义的概念，任何突破模型的方式都不是定义本来 咱2暂 ）再例如，问学生什么函数是相等或相似的问题，也不是好的数学难题，因为这一类“是不是”的难题不是数学研究的目标。我们在此呼吁，不要再讲、再做、再考这类“是不是”的难题，回归数学的本质吧！（3）由于教材砍掉了反函数的定义，于是学生理解“指数函数和对数函数互为反函数”就成了教学难点。无论是旧版的诸多版本教材，还是最新的各类版本教材，都是毫无原因地、粗暴地说：指数函数和对数函数互为反函数。为了减少学生对物理的误解—— — 想怎样“令”就如何“令”，想怎样“设”就如何“设”，想怎样“规定”就如何“规定”，我们做了说点原因的设计。（4）学了指数函数和对数函数后，我们期望学生可一辈子记住其中的四类函数的性质，于是设计了“无穷酒杯”这一理解模型，以反映华罗庚先生的“由厚至薄”读书的最高境界。三尧课后反思（1）画图过程时间稍长，导致前面的总结还不够到位。（2）在问题8的处理上，通过学生口算，直观展现取对数的强悍压缩功能，但是在教学过程中，由于学生并没有在10000000这一数据上，给予学生最充分的想像，且情绪不够强烈，不足以带动学生对取对数这一压缩功能的形象感知，因此“让学生爱上对数”这一目标的谋求估计不充分。

（2）小结中“无穷酒杯”的剖析还不够深刻，且已确立点出其优越之处：举一反三。只要记住“无穷酒杯”的特点，就把指数函数和对数函数的性质全部理解把握了。时间不够，可以强调课后反思问题：对于由底确定的一族对数函数，对相同的自变量的取值，函数值的大小与底的大小有哪些关系？致谢：感谢佛山市教育局教研室和佛山市第四中学数学科组为这次全市公开课提供的一切帮助！参考文献院咱1暂何小亚。追求数学能力达成的课堂设计标准与实例要要 要谨以此文纪念驾鹤西游的我国知名数学教育家张奠宙先生咱J暂。中学语文研究渊华南师范大学版冤袁2019渊3冤。咱2暂何小亚。数学学与教的心理学渊第二版冤咱M暂。广州院华南理工大学出版社袁2016。咱3暂江灼豪袁张琳琳袁何小亚。基于数学史的对数概念教学设计咱J暂。中学语文研究渊华南师范大学版冤袁2015渊9冤。 F教材教法教学导航6