高三化学对数函数教案20

2．10 对数 对数函数

一、明确复习目标

1.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能恰当进行运算；

2.掌握对数函数的概念、图象和性质，并可利用图象和性质去解决有关问题。

二．建构知识网络

1.对数的定义：

如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.

易得: ——对数恒等式

2.指数式与对数式的关系：

ab=N logaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.

要可灵活运用这个关系，能随时将两者互化。

3.对数运算性质:

①loga（MN）=logaM+logaN. ②loga =logaM－logaN.

③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④换底公式：logbN= （04.对数函数：

（1）定义：y=logax（a＞0，a≠1）叫对数函数，x是自变量，y是x的函数。

对数函数与指数函数是互为反函数;

（2）对数函数的图象

（3）对数函数的性质:

①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称.

三、双基题目练练手

1.(2006福建)函数 的反函数是 ( )

（A） （B）

（C） （D）

2.若 ≥ ，则（ ）

A． ≥0 B． ≥0

C． ≤0 D． ≤0

3.（2004全国Ⅰ）已知变量f（x）=lg ，若f（a）=b，则f（－a）等于 （ ）

A.b B.－b C. D.－

4.已知 ，其中 ，则以下不等式成立的是（ ）

A． B．

C． D．

5．计算： = .

6．已知变量 的导数为R，则常数a的取值范围是 .

7.已知变量 的图像与方程 （ 且 ）的图像关于直线 对称，记 .若 在区间 上是增函数，则常数 的取值范围是

简答.精讲: 1-4.ABBC; 2. 是增函数,x≥-y; 3.f(x)是奇函数, f（－a）=－f（a）=－b;

4.当0,若a>1,同理可知无解.

所以,a的取值范围是

四、经典例题做一做

【例1】(1)若60a＝3，60b＝5.求12 的值.

(2)已知315a=55b=153c,求证:5ab-bc-3ac=0

解(1) a=log603，b＝log605，

1－b＝1－log605＝log6012，

1－a－b＝1－log603－log605＝log604，

＝ ＝log124，

12 ＝12 ＝12 ＝2.

证(2) 设315a=55b=153c=k>0,则lg315a=lgk,

∴ 同理 ,

把上述三式代入得

5ab-bc-3ac=

点评：注意指数式和对数式的灵活转换;注意对数运算性质的恰当利用.

【例2】(1)求函数

的值域.

(2)设m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在区间［－2对数函数教案下载，2］上变化时，m值恒正，求x的取值范围.

解：

①当 ，即 时， 值域为 ；

②当 ，即 时， 上单调递减，

， 值域为

(2) m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］关于函数t的图像是线段，要t∈［－2，2］时m值恒正，只要t=－2和2时m的值恒正，即有

∴log2x＞3或log2x＜－1.

∴x＞8或0＜x＜ .

步骤归纳： (1)正确确定定义域; 转化为二次函数值域; 再分类讨论;

(2)转化为一次函数在[-2,2]上恒正问题; 再数形结合列出不等式组求m的范围.

【例3】已知函数 ，

（1）求f(x)的定义域；

（2）此变量的图像上能否存在两点，过这两点的直线垂直于x轴？

（3）当a、b满足什么条件时f(x)恰在 取正值.

解:（1） ，

又 ，故方程的定义域是 .

（2）问题的结论取决于 是否单调，考察单调性有三种步骤：①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方式①最好.

（解一）任取 ，则 ， 即 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；

（解二）求导：

， ， ，

在定义域内单调递增，故不存在所述两点；

（3） 在 单调递增，∴命题等价于： ，

思维拓展 题(2)中证单调性的方式有——

【例4】 设a＞0，a≠1，f(x)＝loga(x+ )

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)求函数的反函数f -1(x)；

(3)若方程f(x)＝loga(2x+ak)有整数解，求k的取值范围。

解 ∵x+ ＞x+｜x｜≥0 ∴f(x)定义域为R。

设u＝x + ，则u∈(0，+∞)，f(x)值域为R。

(1)f(-x)＝loga(-x+ )

＝loga(x+ )-1＝-f(x)

∴f(x)是奇函数。

(2)设y＝loga(x+ )，则

ay＝x+ ,a-y＝ -x

∴ay-a-y＝2x x＝ (ay-a-y)

∴反函数f-1(x)＝ (ax-a-x) (x∈R)

(3)由对数性质知loga(x+ )＝loga(2x+ak)

∴ 当k＝0时，②无解，从而原方程无解。

当k≠0时，又a＞0，由②得x＝ 代入①得，

＞- ∴ ＞0

∴ ＞0 ∴k＞0

∴当k＞0时，原函数有实数解。

解题札记：1.定义域优先;求出函数作反函数的定义域;

2.变形f(-x)=f(x)的方式——分子有理化；

3.解对数方程的方式——去对数符号。

【研讨.欣赏】设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是变量y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点 (1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围

解: (1)设点Q的坐标为(x′,y′),

则x′=x－2a,y′=－y 即x=x′+2a,y=－y′

∵点P(x,y)在方程y=loga(x－3a)的图象上，

∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga ,

∴g(x)=loga

(2)由题意在［a+2,a+3］上x－3a≥(a+2)－3a=－2a+2>0;

又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,

∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga |=|loga(x2－4ax+3a2)|

而|f(x)－g(x)|≤1, ∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,

∵0＜a＜1, ∴

又 a+2>2a.知u(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为增函数对数函数教案下载，

∴只需

解得0＜a≤ ,

∴所求a的取值范围是0＜a≤

方法提炼 (1).求对称图象的函数解析式的解法;

(2).先去绝对值,再利用单调性列不等式组求a的取值范围.

五．提炼总结以为师

1.对数的概念、运算性质:

2.对数函数的定义、图象和性质:

3.感悟知识、思想方式在解题 中的利用;

同步练习 2．10对数与对数函数

【选择题】

1. （2006浙江）已知 ，则 ( )

A. B. C. D.

2．若 ，则 （ ）

A．4 B．16C．256 D．81

3.设函数f（x）=loga|x|在（－∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是 ( )

A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）＞f（2）

C.f（a+1）＜f（2）D.不能确定

4.设 ，则 与 的大小关系为（ ）

A． B．

C． D． 与 的大小关系不确定

【填空题】

5.（2006江西）设 的反函数为 ,若

,则 ________.

6.已知 ， ，则 用 a, b 表示为

答案提示: 1-4.ACBB; 3.易得f（x）是偶函数，又在（－∞，0）上递增，∴f（x）在（0，+∞）上 单调递减,0＜a＜1. 1＜a+1＜2.∴f（a+1）＞f（2）.

4. ,选B; 5.2;

6. 由 得 ，又 ，

∴ ,∴

【解答题】

7. 设不等式2(log x)2+9(log x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时方程f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值

解 ∵2( x)2+9( x)+9≤0

∴(2 x+3)( x+3)≤0 ∴－3≤ x≤－

即 ( )－3≤ x≤ ( ) ?

∴( ) ≤x≤( )－3,∴2 ≤x≤8

即M={x|x∈［2 ,8］}

又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1

∵2 ≤x≤8,∴ ≤log2x≤3

∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0

8. 已知变量f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断 ［f(x1)+f(x2)］与f( )的大小，并加以证明

解 f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( )2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，

当a>1时，有logax1x2≤loga( )2,

∴ logax1x2≤loga( )， (logax1+logax2)≤loga ,

即 f(x1)+f(x2)］≤f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号)

当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga( )2,

∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 ［f(x1)+f(x2)］≥f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号）

9．已知变量x,y满足x≥1,y≥1 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围

9 解: 由已知等式得loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),

即(logax－1)2+(logay－1)2=4,

令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v

在直角坐标系uOv内，

圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与垂直直线系v=－u+k有公共点，

分两类讨论

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得

1+ ≤k≤2(1+ );

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－ )≤k≤1－

综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2 ，最小值为1+ ；

当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－ ，最小值为2－2

10.已知变量 的反函数 ，

（１）若 ，求 的取值范围 ；

（２）设函数 ，当 时，求 的值域

解∵ ，∴

（１）∵ 即

∴ ，

∴ 解之得 ，

∴

（２）∵

令 ，显然在[0，1]递增，则有

∴ ，即 的值域为

【探索题】在函数 的图像上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为 、 、 ，若△ABC的面积为S，求方程 的函数.

解:设A、B、C在 轴上的射影分别为A1、B1、C1，

，

令 ，

，

的值域为

9.已知函数

（1）讨论 的奇偶性与单调性；

（2）若不等式 的解集为 的值；

（3）求 的反函数 ；

（4）若 ，解关于 的不等式 R）.

解:（1） 定义域为 为奇函数；

，求导得 ，

①当 时， 在定义域内为增函数；

②当 时， 在定义域内为减函数；

（2）①当 时，∵ 在定义域内为增函数且为奇函数，

；

②当 在定义域内为减函数且为奇函数，

；

（3）

R）；

（4）

， ；①当 时，不等式解集为 R；

②当 时，得 ，不等式的解集为 ；

③当