必修1《2.2.2 对数函数及其性质》教学设计

一、教材分析

本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数以及性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的既一个重要初等函数，无论从常识或观念方法的视角对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涵盖的常识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数方程知识跟步骤的巩固、深化和提升，也为缓解函数综合问题以及在实际上的应用奠定良好的基础。

二、学生学习状况分析

刚从高中升入高一的师生，仍保留着初中生许多学习特性，能力发展正进入形象思维向抽象思维转折阶段，但很重视形象思维。由于函数概念非常抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求增加，初中生运算能力有所下降，这双重问题提高了对数函数教学的难度。教师应该认识到这一点，教学中应控制要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本观念为根据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的课堂首先应挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为她们提供自主研究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方法。

四、教学目标

1．通过详细例子，直观认识对数函数模型所描绘的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的变量模型；

2．能通过计算器或计算机画出准确对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．通过非常、对照的方式，引导学生结合图像类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生利用变量的看法解决实际问题。

五、教学重点与难点

重点是把握对数函数的图像和性质，难点是底数对对数函数值差异的影响．

六、教学过程设计

教学步骤：背景材料→ 引出课题 → 函数图像→ 函数性质 →问题解决→归纳小结

（一）熟悉背景、引入课题

1．让学生看材料：

如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，

如果要求这些细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的变量,即

；

图 1

2.引导学生观察这个变量的特点：含有对数符号，底数是实数，真数是函数，从而得出对数函数的定义：函数

，且

叫做对数函数，其中

是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：①对数函数的定义与指数方程类似，都是形式定义，注意区分．如：

，

都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：

，且

．

3．根据对数函数定义填空；

例1 （1）函数 y=logax2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

(2) 函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把课本中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。

[设计动机：新课标强调“考虑到多数高中生的思维特征，为了有助于他们对变量概念本质的理解，不妨从学生自己的生活历程和实际问题入手”。因此，选择从材料引发对数函数的概念，让学生熟悉它的常识背景，初步展现对数函数是描绘现实世界的既一重要数学建模。这样处理，对数函数显得不写实，学生容易接受，降低了新课教学的起点]

（二）尝试画图、形成感知

1．确定探究问题

教师：当我们了解对数函数的定义后来，紧接着需要分析哪些问题？

学生1：对数函数的图象和性质。

教师：你可类比前面研究指数函数的策略，提出研究对数函数图象和性质的方式吗？

学生2：先画图像，再依照图象得出性质。

教师：画对数函数的图像是否像指数变量那样也必须分类？

学生3：按

和

分类讨论

教师：观察图像主要看哪几个特征？

学生4：从图像的颜色、位置、升降、定点等视角去识图

教师：在确立了研究方向后，下面，按下列方法共同研究对数函数的图像：

步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图像

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图像

步骤二：观察对数函数

、

与

、

的图象特性，看看他们有这些异同点。

步骤三：利用计算器或计算机，选取底数

，且

的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中做出相应对数函数的图像。观察图象，它们有什么共同特征？

步骤四：规纳出可表现对数函数的代表性图象。

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较。

2．学生探究成果

（1）如图 4—2、4—3较为熟练地用描点法画出下列对数函数

，

，

，

的图象

图2

图3

（2）如图4—5学生选择底数

=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图像。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生十分明白地发现了底数

是怎样影响函数

，且

图象的变化。

图4

（3）有了这些画图感知的过程或者学习指数变量的心得，学生更明确y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a<1)的图像代表对数函数的两种情形。（图4—6）

（4）学生互相补充，自主发现了图像的下述特点：①图象都在y轴左侧，向y轴正负方向无限延展；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐渐上升；当0<a<1时，图象沿x轴正向逐渐增加；④图象关于原点和y轴不对称，并且可从图像的颜色、位置、升降、定点等角度强调指数函数与对数函数的图像区别；如图4—7

3．拓展探究：

（1）对数函数

与

、

与

的图象有如何的对称关系？

（2）对数函数y = loga x （a>1），当a值减少，图象的飙升“程度”怎样？

说明：这是学生研究中容易忽视的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就相当全面。

[设计意图：本节课的设计强调鼓励教师用特殊到通常的方式研究对数函数图象的产生过程，加深感性认识。同时，帮助学生确认研究问题、探究方向跟探究方法，确保研究的有效性。这个环节，还要通过计算机辅助教学作用，增强学生的直观展现。]

（三）理性认识、发现性质

1．确定探究问题

教师：当我们对对数函数的图像有了直观了解后对数函数教案下载，就可以进一步探究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们对数函数教案下载，通常研究变量的性质有什么方法？

学生：主要研究变量的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的方式，再次联手合作，根据图特点探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

2．学生探究成果

在学生自主研究、合作交流的的基础上填写如下表格：

[设计动机：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，我先鼓励学生回顾指数函数的性质，再运用类比的观念，小组合作的方式借助图像主动构建出对数函数的性质。教学实践表明：当教师对对数函数的图像已有感性认识后，得到很多性质必定水到渠成。]

（四）探究问题、变式训练

问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：

（1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7

（3）log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )

独立构想：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的变量性质？小组交流：

（1）

是增函数 （2）

是减函数

（3）y = loga x，分

和

分类讨论

变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54

⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4

2．已知以下不等式，比较正数m，n 的大小：

(1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)

（五）归纳总结、巩固新知

1．议一议：

（1）怎样的变量称为对数函数？

（2）对数函数的图像颜色与底数有什么样的关系？

（3）对数函数有如何的性质？

2．看一看：对数函数的图像特征跟相关性质

（六）作业布置、课后自评

1. 必做题：教材P82习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．

2. 选做题：教材P83习题2．2（B组） 第2题．

七、教学反思

函数仍然是大学物理课堂的主线，对数函数始终是大学物理的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的变革，促使我们在教师学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助方式上正式尝试，但这并非一个起点，目前教学条件还得到推动，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都制约函数的正常教学，通过此次活动期望可导致大家的广泛关注并深入讨论！