对数函数教案下载 【每日一题】蔽Π「蔟li∴哳」

4.2指数函数(2课时,单元教学设计)-、内容和内容解析1.内容本单元的知识结构如下:∷指数函数:「ˉ?~^ˉˉ?~~T————~¨~ˉl「蔽Π「蔟li∴哳1本单元包括指数函数的概念、图象和性质,它们是中学数学中的重要内容。本单元共2课时,第1课时的主要内容是指数函数的概念,第2课时的主要内容是指数函数的图像和性质。2。内容解析本单元是在函数的概念和性质、幂函数、指数及其运算性质的基础上,进一步研究指数函数的概念、图象和性质。指数函数作为基本初等函数之一,是函数内容的重要组成部分;是对数函数、等比数列、概率统计、导数等高中数学内容的基础,其思想方法与其他数学内容还有紧密的联系;同时作为重要的变量模型还有广泛的应用,又是分析和解决大量数学问题和实际问题的重要工具.指数函数是一类具体的变量,有了研究幂函数的经验,便可以按研究一个函数的基本方法去研究指数函数的主要内容.指数函数的概念体现了指数函数变量间对应关系的本质,图象和性质则是在概念基础上进一步研究其变化规律,应该从概念出发认识图象和性质,并结合图象和性质进一步理解概念。

指数函数是刻画呈指数增长或衰减变化规律的变量模型,其概念的教学,应该在函数概念的基础上,重点揭示指数增长或衰减的规律:在自变量增加1个单位,即自变量从￡0变化到幻+1时,相应的变量值之比甜=Ω为音数,这反映了指数函数变化规律的特点。教学时要引导学生通过实例抽象概括出这个特点,以使学生明确指数函数所刻画的现实问题的类别。指数函数是指形如γ=α￡铴)0,且α≠1)的变量,当曰>1时,函数以指数增长;当0(曰(1时,函数以指数衰减。对于指数函数图象和性质的探究,应从函数y=Ω=(c>0,且c≠D出发,通过Ω取不同值时函数的图像直观地体现指数函数的差异规律;然后在大量具体图象的基础上归纳其共同特征,并选择有代表性的图象反映这样的特点,说明函数的定义域、值域、特殊点、单调性。由函数的图像能体现函数的性质,而由函数的性质也能确定函数的图像特征,教学应突出这种数形结合的观念方法,并通过解析式、图象、性质多元联系地认识指数函数的本质和函数模型的特点。|第四章指数函数与对数函数|203根据上述分析,确定本单元的教学重点:指数函数的概念、图象和性质.二、目标和目标解析1.目标(1)通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念。

(2)能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。(3)结合指数函数概念、图象与性质的探究,进一步体会研究具体函数的通常思路和方法,提升数学抽象、直观想象素养.2.目标解析达成上述目标的标志是:(1)能结合教科书中游客增长的问题1和碳14衰减的问题2,通过运算发现其中具体的下降或衰减的规律,并从中体会实际问题中变量间的关系。在了解指数函数的实际意义的基础上,知道指数函数的涵义和表示,清楚其定义域和底数Ω的取值范围。(2)能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量的一些对应值并列表,然后描点或利用信息技术画出指数函数的图像,或能根据函数解析式直接利用信息技术画出指数函数的图像;结合函数图象,归纳这些图象的共同特征,探索并总结指数函数的单调性与特殊点,并结合函数解析式验证所`总结的变量单调性和特殊点。(3)结合指数函数的课堂,体会“概念一图象一性质”的探究具体函数的通常思路;在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程,提升数学抽象素养;结合由函数图象直观认识函数性质的过程,体会数形结合的观念方法,提升直观想象素养。

三、教学问题诊断分析本单元中由具体实例抽象出指数函数的概念,不仅要能想到将问题1游客人次的差异用图象直观表示,还要能结合图象对已知数据进行运算后发现变化规律,并能根据问题1和问题2得到的两个解析式概括出统一的变量关系式丿=aJ(厶)0,且c≠D。这些对学生思维能力的要求较高。教学中,教师要给学生探索和发现的机会,并给予学生恰当的指导.在学生不能从问题1的数据中发现游客人次的差异规律时,可引导学生先根据已知数据作出图象进行观察,然后启发学生对已知数据进行运算,通过运算得到每年与上一年旅游人次的比重为常数,从而结合图象发现变化规律的本质。这里,对数据进行哪些运算才有利于发现规律,是学生已有知识经验中缺乏的,教学中需要引导学生注意,并注意边空中对“增加量”“增长率”的作用的指出.要从不同具体问题得到的解读式概括出γ=Ω￡的方式,可能需要指导学生将问题2的解读式整理为y=((:)573°)=·教学中还要引导学生利用信息技术,从指数幂的含义、函数的对应关系和图象出发,结合实例理解指数函数底数的取值范围对数函数教案下载,并在学习对数和对数函数后进一步理解。

在指数函数性质的学习过程中,尽管学生已经历过幂函数性质的学习,但那是在给定的五个具体函数基础上进行不完整、不系统的推导,而且幂函数性质不“规整”,典型性有所欠缺,难以完全指导其他基本初等函数的研究.指数函数性质的构建则需要学生自行选择具体的函数,必要时教师可引导学生利用信息技术进行探索,通过画出底数a取大量不同值时的图象,发现并归纳函数的单调性;在探索的基础上将大量所作的图像分为增长和衰减两类,利用信息技术分别研200|普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册|究两类图象函数值的差异,从而归纳出G)1时函数单调递增,0(曰(1时函数单调递减.本单元的教学难点是用“增长率”刻画变化规律,以及指数函数单调性的具象概括。四、教学支持条件分析在本单元的教学中,可以利用信息技术中的Exce1、函数作图等软件工具进行计算、列表和作图,以便于多元联系地表示指数函数,帮助学生克服学习中可能遇到的困难,更好地理解指数函数的概念和性质。在指数函数概念的教学中,利用信息技术可以很方便地将问题1中表格的数据转化为图象,由图象直观地发现旅游人次的整体变化情况;然后利用信息技术对这些数据进行计算,通过计算揭示图象蕴含的差异规律的本质。

在指数函数图象和性质的教学中,利用信息技术可以进行多种方式的研究,比如任意作出大量需要的变量图象,通过观察图象归纳出不同图象的共同特征,进而抽象出函数的性质;又如建立函数的图像和数表的联系,通过跟踪图象上的点,数形结合地发现函数的图像特征和性质。五、教学过程设计4。2.1指数函数的概念问题1:随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数的不断增加,A,B两地景区自⒛01年起采取了不同的规避措施,A地提高了景区门票价格,而B地贝刂取消了景区门票。下表是A,B两地景区zO01年至⒛15年的游客人次的逐年增加量。比较两地景区游客人次的变化情况,你发现了怎样的差异规律?追问:(1)能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象,根据图象并结合年增加量,说明两地景区游客人次的变化情况?时阃/年^地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增如蠹/万次200120026099309200542?2006650958810729702920131027321126|第四章指数函数与对数函数|⒛5(2)我们发现,用“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律.能不能换一个量来刻画?例如用“增长率”,即从⒛02年起,将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次,看看能否发现什么规律?(3)能否求出两地景区游客人次随时间(经过的年数)变化的变量解析式,并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况?师生活动:教师给出问题,并通过追问引导学生对问题进行分析。

首先通过画出图象直观感受A,B两地景区游客增长的状况;为进一步刻画和比较两地游客人次的差异规律,需要通过对相邻两年游客人次进行运算,得到B地景区游客人次年增长率为常数,进而将其用函数γ=1.11:(=∈EO,+∞))来描述。设计意图:通过寻求A,B两地景区游客人次增加的规律,引出用函数刻画指数增长的问题,为抽象出指数函数作准各。问题2:当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率(简称为衰减率)衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系?追问:(1)能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的变量解析式?(2)生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比重是多少?师生活动:教师提出问题,并让学生类比问题1对提出的难题进行思考。通过对问题的分析,引导学生用函数ly=((;)5730)=臼∈E0,+∞))刻画碳14衰减的规律。设计意图:通过描述碳14衰减的规律,引出用函数刻画指数衰减的问题,为抽象得到指数函数作准备。问题3:比较问题1,2中的两个实例:B地景区游客人次增长与碳14衰减,它们所反映的差异规律有什么共同特征?追问:(1)从游客人次增长和碳14衰减的数据看,它们的差异有什么共同特征?(2)从游客人次增长和碳14衰减的图像看,它们的差异有什么共同特征?(3)B地景区游客人次增长的变量解析式丿=1.11=与碳14衰减的变量解析式y=((;)573°)z有什么共同特征?师生活动:教师引导学生从数据、图象、解析式等角度进行归纳概括,发现刻画问题1中的指数增长和问题2中的指数衰减的变量的共同特征。

从解析式上来看,如果用字母Ω代替底数1.11和(告)5730,刀阝么上述函数ly=1.11=和ly=((告)5730)工就都可以表示为丿=Ω=的形式,其中指数￡是自变量,底数c是一个大于0且不等于1的常量。从而引出指数函数的概念:一般地,函数y=泸(c>0,且四≠D口丬做指数函数,其中指数J是自变量,定义域是R。在指数函数中,当=∈N时,函数y=泸(Ω>D还可以表示为y=(1+p)=,其中p(p)0)表示增长率;函数y=泸(00,且n≠D,且∫(3)=π,求∫(0),r(1),r(-3)的值。师生活动:教师引导学生,要求出r(0),∫(1),∫(-3)的值,应先求出∫(=)=a￡的简析式,即先求Ω的值。而已知r(3)=π,可由此求出Ω的值。设计意图:通过求函数解析式,并根据解析式求不同的变量值,从指数函数的对应关系和变化规律的视角理解指数函数的概念.练习1下列图象中,有可能表示指数函数的是()。钔2已知函数冖?∈△且“ω司,髁吨揣艹b=℃彳?栩数邝0阼獬赋设计意图:利用函数的三种表示形式,从不同角度推动学生对指数函数概念的理解,进一步明确概念,学会表示指数函数,体会指数增长或衰减。

例2(1)在问题1中,如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收人,A地景区的门票价格为150元,比较这15年间A,B两地旅游收人变化情况。(2)在问题2中,某生物死亡后,过了10000年,它体内碳14的浓度衰减为原来的百分之几?设计意图:在引入概念的两个实例基础上,利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的弊端,从而巩固对概念的理解。练习3在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的下降率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具)设计意图:熟悉不同的指数增长的变量模型,并利用指数函数的概念解决实际问题,进一步巩固对概念的理解。4。2.P指数函数的图像和性质引导语:对于具体的函数,我们一般按照“概念—图象一性质”的过程进行研究。前面我们学习了指数函数的概念,接下来就要研究它的图象和性质。回顾以往的探究经验,你能说说我们要研究哪些内容?研究方法是什么?师生活动:教师引导学生结合幂函数的学习,提出研究指数函数的图像和性质的内容和方法。设计意图:通过回顾以往研究函数图象和性质的内容和方法,提出研究指数函数的图像和性质的探究内容和研究方法,为接下来的学习建立先行组织者。

|第四章指数函数与对数函数|⒛7问题4:选取a的若干值,画出指数函数y=a=(夕)0,且Ω≠1)的图像.通过观察图象的特点可以得到一些函数的性质。你认为可以从哪些方面进行观察?你能发现函数的什么性质?追问:(1)观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数y=εJ劬>0,且Ω≠D的定义域、值域和单调性吗?(2)当色>1时,指数函数y=a=的图像位置、公共点、变化趋势、定义域、值域和单调性如何?当0(ε(1时,指数函数丿=@J的情况又如何呢?(3)比较夕)1与0(四(1指数函数y=/的图像和性质,看它们有什么区别与联系?(4)将探索的结果填人下表:o(@《1a》1图象定义域值域性质师生活动:教师提出问题,引导学生根据图象进行探索、思考,逐步抽象出指数函数的图像特征和性质。在画图的过程中,可以从描点作图开始。在描点画图列函数对应值表的过程中,可以使用计算工具,在此基础上,为了画出更多的函数的图像,帮助进行观察、归纳,可以利用信息技术工具。由此逐渐引导学生对指数函数进行分类对数函数教案下载,得到它的单调性和特殊点的规律。

设计意图:通过画图,比较不同指数函数的图像,归纳它们的共同特征,并数形结合地抽象出指数函数的性质。例3比较下列各题中两个值的大小:(1)1.725,1.73;(2)0.8^扼,0.8^沔;(3)1。卩3,o.93·1。师生活动:教师引导学生将每一组中的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值,从而利用指数函数的单调性进行比较。对于(D(2),可以直接利用指数函数的单调性比较;对于(3),1.7α3和0.9⒊1不能看作某一个指数函数的两个函数值。可以利用函数丿=1.卩和丿=0。r的单调性,以及“J=0时,丿=1”这条性质把它们联系起来。设计意图:通过应用函数的单调性比较大小,进一步理解指数函数的单调性。练习4比较下列各题中两个值的大小:(1)6褥,7历;(2)0.3ˉ35,0.3ˉ2·3;(3)1。严5,0.512。设计意图:通过对例题3的变式,促进学生对指数函数单调性的理解。例4如图,某城市人口呈指数增长。(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);(2)该城市人口从gO万开始,经过zO年,人口会增长到多少?(第4题)而同一指数函数的学子活动:教师引导学生对问题进行分析,根据该城市人口呈指数增长,20g|誓通高中教科书教师教学用书数学必修第—册|倍增期是相同的,所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期。

要计算⒛年后的人口数,关键是要找到⒛年与倍增期的总量关系,由于倍增期是⒛年,因此容易得到“从⒛万人开始,zo年后人口大约会增长到160万人”。设计意图:通过应用函数图象解决问题,进一步认识指数函数的图像,并由图象理解指数函数的概念和性质。练习5在同一平面直角坐标系中画出函数丿=y和丿=(告)￡的图象,并说明它们的关系。练习6体内癌细胞初期增加很缓慢,但到了晚期就急剧增加。试画出能大致反映体内癌细胞数量随时间变化的草图。设计意图:通过比较底数互为倒数的指数函数的图像,并应用图象描述实际问题的差异规律,进一步认识指数函数的图像,理解指数函数的概念和性质。课堂小结教师引导学生回顾本单元学习的主要内容,并回答下列问题:(1)写出一个指数函数的详解式,说明底数、增长比例和初始量的值,画出该函数的草图,并说明其单调性。(2)通过本单元的学习,你对研究函数的内容和方法有什么更进一步的了解?对比以前学习过的一些具体函数,你能建立指数函数和它们的联系吗?请你结合下表谈谈体会.撺数函数△次酶数=次露数夂蝴∷∶器轰诲髯据耄夂解拼戎∵∷∶焦魑露∷0彗1谊自Ⅱ∷∴窃良性∷读设计意图:结合问题(D,教师与学生一起回顾本单元学习的指数函数的概念、图象和性质;结合问题(2),建立指数函数与学习过的其它函数的联系,并进一步体会研究具体函数的内容、过程和方法.布置作业根据课堂教学情况,从教科书习题4.2中选择合适的题目。

六、目标检测设计1.设指数函数y=∫(J)的底数为Ω,如果∫(2)=钔,∫(3)=⒛,那么Ω=,∫(4)=设计意图:考查学生对指数函数概念的理解。2.函数F(J)=尼Ω=(a>0,且c≠D的图象经过点(0,2)和(1,D。(1)求该函数的解读式,并作出图象;(2)判断该函数的单调性。设计意图:考查学生对指数函数的图像和性质的把握.丨第四章指数函数与对数函数}209