【知识点】第10讲_对数函数及其运算知识图谱

第10讲_对数函数及其运算知识图谱对数及其运算知识精讲一。对数的定义在指数函数中，对于实数集内的每一个值，在正实数集内部都有唯一确认的跟它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值，在外部有唯一确认的跟它对应，幂指数，又叫做以为底的对数．一般的，对于指数式，我们把“以为底的对数”，记作，即。其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”．二．对数的性质对数有下列性质：1。负数和0没有对数，即；2。1的对数等于0，即；3。底数的对数等于1，即三．对数恒等式1。对数恒等式2。指数式与对数式的互化根据对数的定义，可以受到对数与指数间的关系。即，当时，。三．常用对数与自然对数1。常用对数以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把记作。2。自然对数以系数为底的对数叫做自然对数，简记作，是无理数对数函数教案下载，。四。对数的运算法则已知，（），设，则则有：积的对数：．证明：商的对数：．证明：幂的对数：．（，，）证明：五．对数换底公式及其结论1。换底公式(；)证明：设，则，两边取以为底的对数，得，即，所以，即2。常用结论（1）（且均不为1）（且均不为1）（2）（且均不为1）（且均不为1）．（3）（且均不为1，）（4）三点剖析一。

注意事项对数，定义中要求且的缘由：1。若且为这些数值时，不存在，如函数没有实数解，所以不存在，因此要求不能小于0。2。若，且时，不存在；时，有无数个值，不能确定，因此要求；3。若，且不为1时，不存在；不存在；而且时，可以为任何实数，不能确定，因此要求．二。方法点拨1。对数式的式子与方程（1）同底数的对数式的通分、求值①一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的跟差。如②二是“合”，将同底的对数跟、差合成积、商的对数。如③三是“拆”与“合”结合（2）不同底数的对数式的通分、求值常用技巧①先分别换底，化简后将底数统一，再计算。如②统一将不同底的对数换为常用对数，在进行化简、求值如2。利用已知对数表示其它对数用对数跟等表示其它对数时，解决这些难题，通常用到对数的运算法则和换底公式：①首先，观察和所应表示的对数底数的关系；②利用换底公式所应表示的对数底数换为。如：已知，求。对数及指对互化例题1、下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A。log39＝2与B。与C。e0＝1与ln1＝0D。log77＝1与71＝7【答案】A【解析】对于A：log39＝2能化为：32＝9，∴A不正确对于B：可化为：，∴B正确对于C：e0＝1可化为：0＝loge1＝ln1，∴C正确对于D：log77＝1能化为：71＝7，∴D正确例题2、（1）求值：；（2）已知，用表示．【答案】（1）1（2）【解析】（1）原式（2）．例题3、已知x＝log23，则________．【答案】【解析】∵x＝log23，∴2x＝3，∴．例题4、已知2x＝72y＝A，且，则A的值是（）A。

7B。C。D。98【答案】B【解析】因为，所以，所以，例题5、已知，，则b＝________．【答案】log316【解析】∵，∴ab＝2a＋1，∴4a－3?2a＋1＝16，化为：（2a）2－6?2a－16＝0，解得2a＝8，解得a＝3．∴3b＝24，则b＝log316．例题6、已知，则，则值为（）A。36B。6C。D。【答案】D【解析】根据题意，2x＝3y＝a，则有x＝log2a，y＝log3a，则，，若，即，则．随练1、已知lg5＝m，lg7＝n，则log27＝（）A。B。C。D。【答案】B【解析】∵lg5＝m，lg7＝n，则．随练2、已知，，则正实数的值为________．【答案】【解析】∵，∴∵，∴．随练3、求值：．【答案】【解析】．随练4、已知两个不相同的正数，满足，，则________．【答案】6【解析】∵两个不相同的负数a，b满足logab＋2logba＝3，ab＝ba，∴，∴（logab）2－3logab＋2＝0，解得logab＝1，或logab＝2，∴a＝b（舍）或a2＝b，∵ab＝ba，∴，∴a2＝2a，解得a＝2或a＝0（舍），∴a＝2，b＝a2＝4，∴a＋b＝2＋4＝6．随练5、设m＞1，且2x＝3y＝5z＝m，则（）A。

2x＜3y＜5zB。5z＜2x＜3yC。3y＜5z＜2xD。3y＜2x＜5z【答案】D【解析】m＞1，且2x＝3y＝5z＝m，可得x＝log2m＞0，y＝log3m＞0，z＝log5m＞0，，，，由lgm＞0，又，，则，，，则，又，，则，即有，则，即有5z＞2x＞3y．随练6、已知，且，则的值为________．【答案】【解析】∵∴∵，∴，则即而则对数的运算例题1、（1）计算；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）－4【解析】（2）∵∴∵∴∴∴∴（舍去）∴例题2、17．①已知0＜x＜1，且x＋x－1＝3，求的值．②求值．【答案】①－8②【解析】①x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝9－2＝7，，又∵0＜x＜1，∴，∴，∴原式②．例题3、已知方程．（1）求f（2），，f（4），的值，并计算，；（2）求的值．【答案】（1）；；；；1；1（2）【解析】（1）∵，∴，，，，∴，．（2）∵，∴．例题4、计算________．【答案】3【解析】．例题5、已知变量，若，则（）A。5B。3C。2D。【答案】A【解析】函数，，，解得．例题6、（1）化简：；（2）求值：．【答案】（1）4a（2）1【解析】（1），（2）．随练1、计算以下各种的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）4【解析】（1）．（2）＝log535＋log22－log550－1－log514＝log535＋log22＋log550－log514＝log553＋1＝3＋1＝4．随练2、计算以下各题（1）（2）．【答案】（1）11（2）－1【解析】（1）；（2）＝．随练3、求以下各种的值（1）若xlog53＝1，求3x＋3－x的值；（2）．【答案】（1）（2）【解析】（1）由xlog53＝1，得3x＝5，∴．（2）原式＝．随练4、计算：．【答案】【解析】．随练5、（1）计算________，（2）若，则________．【答案】3；【解析】（1）．（2），，．随练6、已知，则________，________．【答案】；【解析】；；；．随练7、计算：________；________．【答案】；2【解析】，．有附加条件的对数运算例题1、若，则________．【答案】1【解析】，，，，．例题2、已知，，则________．【答案】4【解析】，，又，，，或2，或10，或．例题3、已知，，，若，，则________．【答案】2【解析】，，，，，，，．例题4、设都是正数，且，则（）A。

B。C。D。【答案】B【解析】∵，令，∴，∴，∴例题5、已知和是关于的方程的两个根，而关于的等式有两个相等的实数根，求整数和值．【答案】，，【解析】，所以，又∵，，∴，∴，代入得，∴，而，∴．例题6、已知为正数，：（1）求；（2）求证【答案】（1）（2）由题意得，∴【解析】（1）令，∴，又∵，∴，∴（2）由题意得，∴例题7、若是函数的两个实根，求的值．【答案】4【解析】,=∴原式随练1、若是方程的两个实根，则的值等于（）A。2B。C。D。【答案】A【解析】由题意得，随练2、设，用表示．【答案】【解析】，，∴，综上得，解得随练3、设，则_______．【答案】1【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴随练4、，则的值为（）A。B。4C。1D。4或1【答案】B【解析】暂无解析随练5、设函数，且，则的值构成的集合为（）【答案】C【解析】，∴，∴，解得或，∴或随练6、已知，求【答案】【解析】由题意得，．∴随练7、已知满足不等式，求的最大值与最小值及相应值【答案】当=时，当时，．【解析】由，，，而原本此时==，当时，此时．拓展1、若xlog23＝1，则3x＋9x的值为________．【答案】6【解析】∵xlog23＝1，∴x＝log32．∴，9x＝（3x）2＝4．则3x＋9x＝2＋4＝6．2、若a=log23，则2a+2a=_____．【答案】【解析】∵a=log23，∴2a==3，∴2a+2a=2a+=3+=．故答案为：．3、方程xlog34＝1，则4x＋4－x为（）A。

0B。C。3D。【答案】B【解析】∵xlog34＝1，∴x＝log43．∴则．4、已知log7[log3（log2x）]＝0，那么等于（）A。B。C。D。【答案】D【解析】由条件知，log3（log2x）＝1，∴log2x＝3，∴x＝8，∴．5、设，，则________．（用，表示）【答案】【解析】．6、计算：________．【答案】0【解析】＝lg14－lg49＋lg9＋lg7－lg18＝lg1＝0．7、计算：（1）；（2）．【答案】（1）110（2）2【解析】（1）原式，＝110；（2）原式＝2．8、计算（1）；（2）．【答案】（1）20（2）【解析】（1）原式＝9＋9＋2＝20．（2）原式．9、已知，那么用表示是（）A。B。C。D。【答案】A【解析】∵，∴，10、已知整数满足方程，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能建立的关系式有（）．A。1个B。2个C。3个D。4个【答案】B【解析】由题意知，且，∴由对数的定义知，，，故后来，有；当时，有；当时，有,第10讲_对数函数及其运算知识图谱对数及其运算知识精讲一。对数的定义在指数函数中，对于实数集内的每一个值，在正实数集内部都有唯一确认的跟它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值，在外部有唯一确认的跟它对应，幂指数，又叫做以为底的对数．一般的，对于指数式，我们把“以为底的对数”，记作，即。

其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”．二．对数的性质对数有下列性质：1。负数和0没有对数，即；2。1的对数等于0，即；3。底数的对数等于1，即三．对数恒等式1。对数恒等式2。指数式与对数式的互化根据对数的定义，可以受到对数与指数间的关系。即，当时，。三．常用对数与自然对数1。常用对数以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把记作。2。自然对数以系数为底的对数叫做自然对数，简记作，是无理数，。四。对数的运算法则已知，（），设，则则有：积的对数：．证明：商的对数：．证明：幂的对数：．（，，）证明：五．对数换底公式及其结论1。换底公式(；)证明：设，则，两边取以为底的对数对数函数教案下载，得，即，所以，即2。常用结论（1）（且均不为1）（且均不为1）（2）（且均不为1）（且均不为1）．（3）（且均不为1，）（4）三点剖析一。注意事项对数，定义中要求且的缘由：1。若且为这些数值时，不存在，如函数没有实数解，所以不存在，因此要求不能小于0。2。若，且时，不存在；时，有无数个值，不能确定，因此要求；3。若，且不为1时，不存在；不存在；而且时，可以为任何实数，不能确定，因此要求．二。

方法点拨1。对数式的式子与方程（1）同底数的对数式的通分、求值①一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的跟差。如②二是“合”，将同底的对数跟、差合成积、商的对数。如③三是“拆”与“合”结合（2）不同底数的对数式的通分、求值常用技巧①先分别换底，化简后将底数统一，再计算。如②统一将不同底的对数换为常用对数，在进行化简、求值如2。利用已知对数表示其它对数用对数跟等表示其它对数时，解决这些难题，通常用到对数的运算法则和换底公式：①首先，观察和所应表示的对数底数的关系；②利用换底公式所应表示的对数底数换为。如：已知，求。对数及指对互化例题1、下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A。log39＝2与B。与C。e0＝1与ln1＝0D。log77＝1与71＝7例题2、（1）求值：；（2）已知，用表示．例题3、已知x＝log23，则________．例题4、已知2x＝72y＝A，且，则A的值是（）A。7B。C。D。98例题5、已知，，则b＝________．例题6、已知，则，则值为（）A。36B。6C。D。随练1、已知lg5＝m，lg7＝n，则log27＝（）A。B。C。D。随练2、已知，，则正实数的值为________．随练3、求值：．随练4、已知两个不相同的正数，满足，，则________．随练5、设m＞1，且2x＝3y＝5z＝m，则（）A。

2x＜3y＜5zB。5z＜2x＜3yC。3y＜5z＜2xD。3y＜2x＜5z随练6、已知，且，则的值为________．对数的运算例题1、（1）计算；（2）已知，求的值．例题2、17．①已知0＜x＜1，且x＋x－1＝3，求的值．②求值．例题3、已知方程．（1）求f（2），，f（4），的值，并计算，；（2）求的值．例题4、计算________．例题5、已知变量，若，则（）A。5B。3C。2D。例题6、（1）化简：；（2）求值：．随练1、计算以下各种的值：（1）；（2）．随练2、计算以下各题（1）（2）．随练3、求以下各种的值（1）若xlog53＝1，求3x＋3－x的值；（2）．随练4、计算：．随练5、（1）计算________，（2）若，则________．随练6、已知，则________，________．随练7、计算：________；________．有附加条件的对数运算例题1、若，则________．例题2、已知，，则________．例题3、已知，，，若，，则________．例题4、设都是正数，且，则（）A。B。C。D。例题5、已知和是关于的方程的两个根，而关于的等式有两个相等的实数根，求整数和值．例题6、已知为正数，：（1）求；（2）求证例题7、若是函数的两个实根，求的值．随练1、若是方程的两个实根，则的值等于（）A。

2B。C。D。随练2、设，用表示．随练3、设，则_______．随练4、，则的值为（）A。B。4C。1D。4或1随练5、设函数，且，则的值构成的集合为（）随练6、已知，求随练7、已知满足不等式，求的最大值与最小值及相应值拓展1、若xlog23＝1，则3x＋9x的值为________．2、若a=log23，则2a+2a=_____．3、方程xlog34＝1，则4x＋4－x为（）A。0B。C。3D。4、已知log7[log3（log2x）]＝0，那么等于（）A。B。C。D。5、设，，则________．（用，表示）6、计算：________．7、计算：（1）；（2）．8、计算（1）；（2）．9、已知，那么用表示是（）A。B。C。D。10、已知实数满足方程，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能建立的关系式有（）．A。1个B。2个C。3个D。4个