【期中复习】对数式与指数式之间的相互转化关系

一、指数函数1．形如 y ax (a 0, a 0) 的方程叫做指数函数，其中自变量是 x ，函数定义域是 R ，值 域是 (0, ) ． 2.指数函数 y ax (a 0, a 0) 恒经过点 (0,1) ． 3.当 a 1时，函数 y ax 单调性为在 R 上时增函数； 当 0 a 1时，函数 y ax 单调性是在 R 上是减函数．二、对数函数 1． 对数定义：一般地，如果 a （ a 0且a 1）的 b 次幂等于 N , 即 ab N ，那么就称 b 是以 a 为 底 N 的对数，记作 loga N b ，其中， a 叫做对数的底数， N 叫做真数。着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解， ab N 与 b loga N 所表示 的是 a,b, N 三个量之间的同一个关系。2. 对数的性质：（1）零跟负数没有对数；（2） loga 1 0 ；（3） loga a 1这三条性质是中间学习对数函数的基础跟准备，必须熟练掌握和真正理解。3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以 10 作底 log10 N 简记为 lg N ②自然对数：以 e 作底（为无理数）， e = 28…… ， loge N 简记为 ln N ．4.对数恒等式（1） loga ab b ；（2） aloga N N 要明确 a,b, N 在对数式与指数式中各自的意义，在指数式 ab N 中，a 是底数，b 是指数， N 是幂；在对数式 b loga N 中，a 是对数的底数对数函数教案下载， N 是真数，b 是以 a 为底 N 的 对数，虽然 a,b, N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有紧密的联系：求 对数 loga N 就是求 ab N 中的指数，也就是确定 a 的多少次幂等于 N 。

三、幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 y x 的方程称为幂函数，其中 x 是自变量， 是系数； 注意：幂函数与指数函数的区分． 2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 (1,1) ；（2）当 0 时，幂函数在[0, ) 上单调递增；当 0时，幂函数在 (0, ) 上 单调递减；（3）当 2, 2 时，幂函数是 偶函数 ；当 1,1,3, 1 时，幂函数是 奇函数 ． 3四、精典范例例 1、已知 f(x)=x3·( 1 1 )； 2x 1 2(1)判断方程的奇偶性；(2)证明：f(x)>0. 【解】：(1)因为 2x－1≠0，即 2x≠1，所以 x≠0，即变量 f(x)的定义域为{x∈R|x≠0} .又 f(x)=x3(11)=x32x ·1，2x 1 2 2 2x 1f(－x)=(x)3 2x2· 2x1 1x3 2x2· 2x 1 =f(x)， 1其实函数 f(x)是偶函数。(2)当x>0时，则x3>0，2x>1，2x－1>0，所以f(x)=x32x ·10.2 2x 1又 f(x)=f(－x),当 x0.综上述 f(x)>0.例 2、已知 f(x)= a·2 x a 2 (x R), 若 f(x)满足 f(－x)=－f(x). 2x 1(1)求实数 a 的值；(2)判断函数的单调性。

【解】：(1)函数 f(x)的定义域为 R，又 f(x)满足 f(－x)= －f(x)，所以 f(－0)= －f(0)，即 f(0)=0.所以 2a 2 0 ，解得 a=1，2(2)设 x1f(x)的 x 的取值范围；(3)在(2)的范围内对数函数教案下载，求 y=g(x) －f(x)的最大值。【解】：(1)令 x s, y t ，则 x=2s,y=2t. 32因为点(x,y)在变量 y=f(x)的图像上运动，所以 2t=log2(3s+1)，即 t= 1 log2(3s+1)，所以 g(x)= 1 log2(3s+1)22(2)因为 g(x)>f(x)所以 1 log2(3x+1)>log2(x+1) 2即3x 1(x 1)20x1x 1 0(3)最大值是 log23－ 3 2例 4、已知变量 f(x)满足 f(x2－3)=lg x 2 . x2 6(1)求 f(x)的表达式以及定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性；(3)当函数 g(x)满足关系 f[g(x)]=lg(x+1)时，求 g(3)的值.解：(1)设 x2－3=t，则 x2=t+3,所以 f(t)=lg t 3 lg t 3 t 36 t 3所以 f(x)=lg x 3 解不等式 x 3 0 ，得 x3.x3x3所以 f(x)-lg x 3 ，定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞). x3(2)f(-x)=lg x 3 lg x 3 lg x 3 =－f(x).x3 x3x3(3)因为 f[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg x 3 ， x3所以 lg g(x) 3 lg( x 1) ， g(x) 3所以 g(x) 3 x 1, g(x) 3( g(x) 3 0, x 1 0 ). g(x) 3解得 g(x)= 3(x 2) , x因此 g(3)=5