事实：《对数函数的图象与性质》教案

《对数函数的图像与性质》教案

案例背景

对数函数是变量中又一类重要的基本初等函数，它是在学生将要学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上采用的．故是对上述知识的应用，也是对变量这一重要数学观念的进一步了解与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习让学员的常识体系十分完整，系统，同时既是对数跟函数知识的拓宽与延展．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要软件，是学生将来学习对数方程，对数不等式的基础．

案例叙述：

(一).创设情境

（师）：前面的几种函数都是以手段定义的方法给出的，今天我们将从反函数的视角介绍新的函数．

反函数的实质是探究两个函数的关系，所以自然我们要从你们熟悉的函数出发，再探究其反函数．这个熟悉的导数就是指数函数．

（提问）：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

（学生）： 是指数函数，它是存在反函数的．

（师）：求反函数的步骤

（由一个学生口答求反函数的过程）：

由 得 ．又 的值域为 ，

所求反函数为 ．

（师）：那么我们现在就是研究指数函数的反函数-----对数函数．

（二）新课

1.（板书） 定义：函数 的反函数 叫做对数函数．

（师）：由于定义就是从反函数角度给出的，所以以下我们的研究就从这个视角出发．如从定义中你可知道对数函数的哪些性质吗?最初步的了解是哪个?

（教师提示学生从反函数的三定与三反去了解，学生自主研究，合作交流）

（学生）对数函数的定义域为 ，对数函数的导数为 ，且底数 就是指数函数中的 ，故有着相同的限制条件 ．

（在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．）

2．研究对数函数的图像与性质

（提问）用哪个方法来画函数图像?

（学生1）利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．

（学生2）用列表描点法也有可以的。

请学生从中上述方式中选出一种对数函数教案下载，大家最后确认用图像变换法画图．

（师）由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类别，故对数函数的图像也要以1为分界线分成两种状况 和 ，并分别以 和 为例画图．

具体操作时，要求学生做到：

(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的差异趋势等)．

(2) 画出直线 ．

(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近 轴对称为逐步靠近 轴，而 的图像在翻折时能提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分．

学生在笔记本完成准确操作，教师在学员完成后将关键方法在黑板上演示一遍，画出

和 的'图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出使学生按照图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度表明)

3. 性质

(1) 定义域：

(2) 值域：

由以上两条可表明图像位于 轴的左侧．

(3)图像恒过(1,0)

(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称．

(5) 单调性：与 有关．当 时，在 上是增函数．即图像是上升的

当 时，在 上是减函数，即图像是增加的．

之后可以质疑学生有没有最大值跟最小值对数函数教案下载，当受到否定答案时，可以再问是否看待何时函数值为正?学生看到图可以答出应有两种状况：

当 时，有 ；当 时，有 ．

学生提问后校长能指导教师巧记这个论断的方式：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它只是第(6)条性质板书记下来．

最后教师在小结时，强调牢记性质的关键在于要脑中有图．且须将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别指出他们单调性的一致性)

对图像跟性质有了一定的知道后，一起来看看他们的应用．

（三）．简单应用

1. 研究相关函数的性质

例1. 求以下变量的定义域：

(1) (2) (3)

先由学生依次列举相应的不等式，其中尤其应注意对数中真数和底数的条件限制．

2. 利用单调性比较大小

例2. 比较下列各组数的大小

(1) 与 ； (2) 与 ；

(3) 与 ； (4) 与 ．

让学生先写出各组数的特点即他们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后使学生以其中一组为例写出详细的非常过程．

三．拓展练习

练习：若 ，求 的取值范围．

四．小结及作业

案例反思：

本节的重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像性质．难点是运用指数函数的图像和性质得到对数函数的图像跟性质．由于对数函数的概念是一个抽象的方式，学生不易理解，而且既是构建在指数与对数关系跟反函数概念的基础上，通过互为反函数的两个函数的关系由已知变量研究未知函数的性质，这种方式是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，因而在上实行教师逐渐引导，学生自主合作的形式，从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的了解逐渐转换为对对数函数的了解，而且画对数函数图象时，既应考虑到对底数的分类争论甚至对每一类疑问也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图像的特点，找出共性，归纳性质．

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