两平行平面间距离公式的几种推导方法(图文)

两平行平面间距离公式的几种推导方法(图文) 论文导读： 运用向量方法推导两平行平面间的距离公式， 不仅能够加深学生对向量、 射影、 两向量的数量积等概念的理解与把握， 还能使学生对射影和两向量的数量积之间的关系有更加深刻的认识， 同时也可以提高学生运用已学知识的能力。 运用此方法推导两平行平面间的距离公式， 不仅可以加深学生对平面划分空间问题的理解， 使学生能够通过离差的符号来判断给定点和平面的位置关系， 还能使学生更好的掌握平面的法式方程， 对法式方程的特点有更加深刻的认识， 同时也可以巩固分类讨论的思想方法。 关键词： 平行平面， 距离， 射影， 离差距离问题是空间解析几何中重要的研究对象之一， 也是一个难点。 文[1]详细介绍了两点间的距离公式、 点到平面的距离公式、 点到直线的距离公式、 两异面直线间的距离公式。 本文主要讨论两平行平面间距离公式的几种推导方法， 加深对距离问题的认识， 有助于培养发散性思维能力， 也体现了一题多解的思想。已知两平行平面和，设它们之间的距离为，下面通过不同的方法推导出的表达式。两点间距离公式推导 1 运用向量方法推导 两平行平面和间的距离为两平面上点间距离的最小值。

根据平面和的方程，它们的一个法向量可设为。在平面和上分别任取一点和，设向量与向量的夹角为，则两平行平面和间的距离， 其中为与同方向的单位向量。证明： 由射影的计算公式可得：， 而， 由此可得：。 由点和的任意性， 所以有。由于为与法向量同方向的单位向量， 即。根据数量积的定义可知：。 论文发表。根据上面的等式可以得到两平行平面间的距离为：。由于点和分别在平面和上， 故有和， 即：，。 由此可得两平行平面和间距离的表达式如下：。运用向量方法推导两平行平面间的距离公式， 不仅能够加深学生对向量、射影、 两向量的数量积等概念的理解与把握， 还能使学生对射影和两向量的数量积之间的关系有更加深刻的认识， 同时也可以提高学生运用已学知识的能力。2 由坐标原点到两平行平面间的距离来推导 坐标原点与两平行平面和间的位置关系有如下五中情况（ 这里假定平面在平面的上方， 另外的情况可类似讨论）： 坐标原点在两平行平面和的上方； 在平面上； 在平面和之间； 在平面上； 在平面和的下方。因为在平面的法式方程中可以直接得到坐标原点到该平面的距离， 所以先把平面和的方程化为法式方程。 法式化因子为， 要满足条件，， 根据和的符号来决定的符号。

设平面和的法式化因子分别为和， 则。在平面和方程的两端分别同时乘以相应的法式化因子， 可得平面和的法式化方程， 即，。 由此可得坐标原点到两平行平面和的距离分别为：，。如何判定坐标原点与两平行平面和间的位置关系呢？ 首先求出与平面和间的离差和， 然后根据离差和的符号来判定具体的位置关系。当时， 坐标原点在平面和的上方或者下方。坐标原点在平面和的上方时， 两平行平面和间的距离为：；坐标原点在平面和的下方时， 两平行平面和间的距离为：。当时， 坐标原点在平面上， 此时有且， 两平行平面和间的距离为：。 论文发表。当时， 坐标原点在平面上， 此时有且， 两平行平面和间的距离为：。当时， 坐标原点在平面和之间， 此时两平行平面和间的距离为：。运用此方法推导两平行平面间的距离公式， 不仅可以加深学生对平面划分空间问题的理解， 使学生能够通过离差的符号来判断给定点和平面的位置关系，还能使学生更好的掌握平面的法式方程， 对法式方程的特点有更加深刻的认识，同时也可以巩固分类讨论的思想方法。3 利用点到平面的距离公式来推导 两平行平面和间的距离等于平面上任意一点到平面的距离， 可根据点到平面的距离公式来求两平行平面间的距离。

[破疑点]空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例． 1．空间直角坐标系中，三条坐标轴() a．两两垂直且相交于一点 b．两两平行 c．仅有两条不垂直 d．仅有两条垂直 [答案]a ●预习自测 2．点p(1,4，－3)与点q(3，－2,5)的中点坐标是() a．(4,2,2) b．(2，－1,2) c．(2,1,1) d．(4，－1,2) [答案]c [答案]d 高 效 课 堂 画一个正方体abcd－a1b1c1d1，以a为坐标原点，以棱ab，ad，aa1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系． (1)求各顶点的坐标。(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.。 如右图所示，在长方体oabc－o1a1b1c1中，|oa|＝2，|ab|＝3，|aa1|＝2，e是bc的中点，作od⊥ac于点d，求线段b1e的长度及顶点o1到点d的距离． 空间两点间距离公式 [探究]先根据空间直角坐标系，求出点b1、e、o1、d的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． 规律总结：1。