初三相像三角形知识点与经典题型1有关相像形的观点

三年级相似三角形知识点和经典题型知识点1的观点是相似图（1)形状相同的图称为相似图。在相似多边形中，最简单的是相似三角形 如果有两条边 同一个多边形的对应角相等，对应边成比值 这两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边长的比值称为相似比（similar coefficient）。 知识点2比线段的相关观点（1）如果采用同一单位的两条线段a和b的长度为m和n，那么这些的比值两条线段是ambn，或者写成a:bm:n.注意：计算线段比时，线段单位要统一.的比值，那么这四个线段a,b,c,d被称为比例线段， () 在四行中e段a、b、c、d，如果a与b的比值等于c和d2，则称为比值线段。注：①比例线段为有序。如果a是b、c、d的第四个比例项，那么比例应该是：bd。 ②在比率ac(a:bcac:d)中，a和d称为外比率项，b和c称为比率的内项，a和c称为比率的前项，b和d称为后项比率，bd 现在有一个 b2 项，而 d 称为第四比率项。若b=c，即a:bb:d，则b称为a与d之比的中项，ad。 （3）金切：将线段AB分成两条线段AC、BC（ACBC），设AC为AB与BC之比的中间项，即AC 2AB BC称为金切线段AB，C点称为线段AB的黄金切割点，其中AC51AB≈20.618 AB. ACBC5 1 简写为：length = short = 5 1ABAC2 full length 2 注：金三角：顶点角是 360 度的等腰三角形。

黄金矩形：知识点3的比值与长宽比等于黄金数的矩形的性质（注意属性成立的条件：分母不能是0）(1）基本性质：①a：bc：dadbc；②a：bb：cb2a c ．adbc，除了注意：从一个比率公式只能转化为一个等积公式，一个等积公式可以转化为一共八种比例公式，如a:bc:d，也转换为a:cb:d,c:da:b,b:da:c,b:ad:c,c:ad:b,d:cb:a ,d:bc:a.ab,可互换术语)cd(2）多性质(内部或外部术语的互换比):acd()c,交换外部术语bdbdb.同时交换内部和外部项）ca（3）反比性质（前项和后项的比率互换）：acbd．bdac（4）合、分比性：acabcd。bdbd注：其实就是该比率可以扩展为：相同和di后项之间 badc 的差异变化率仍然有效。例如：acac等。 b dabcdabcd（5）等距性质：如果acem（bdfn0)，则acema.bdfnbdfnb 注：①使用该性质的证明“set k方法”（即引入一个新的参数k)可以减少未知数的数量。这种方法是计算比率中常用的方法。 ②应用几何性质时，需要考虑分母是否为零 ③分数性质可以用来乘以偶数方程各比的前后项同时加一个数，则几何性质也成立，例如：acea2c3ea 2c 3ea; 其中b 2d 3 f 0．bdfb2d3 fb 2d 3 fb 知识点4比例线段的相关定理1.三角形中平行线的比例与线段比例的比例：平行于三角形一侧的直线截断另外两条边（或两边的延长线）和对应的线段是成比例的. A by DE ∥ BC ca n 可得：ADAE 或 BDEC 或 ADAEDBECADEAABACDE 注：BC①重要结论：一条直线平行于三角形的一条边并与另外两条边相交，截取三角形的三边与原三角形的三边成正比。例②三角形中平行线比例定理的逆定理：如果一条直线截断三角形的两条边（或两条边的延长线），则对应的线段成比例。那么这条线平行于三角形的第三边。该定理给出了一种证明两条直线平行的方法，即：用比率公式证明平行线。 ③平行线的应用：在证明相关比值线段时，辅助线往往是平行线，但原则是不破坏条件下两条线段的比值。求两条线段的比率。 2.平行线子线段比定理：三条平行线切出两条直线，得到的对应线段为比值。 AD 已知 AD∥ BE∥CF, BE 可以得到 ABDEABDEBCEFBCEFABBCCFBCEF 或 DF 或 AC 或 DE 等。由三个平行线。如果其中一条线段截取的线段相等，则另一条线段也相等。

知识点5 相似三角形的视点角相等，对应边成比例，称为相似三角形。相似性由符号“∽”表示，发音为“类似于”。相似三角形对应边的比值称为相似率（或相似系数）。相似三角形的对应角相等，对应边成比例。注：①对应：当两个三角形相似时，代表对应极点的字母必须写在对应位置，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。 ②序列：对相似三角形的相似度进行排序。 ③ 两个三角形形状相同，但大小不一定相同。 ④ 全等三角形是相似度为1的相似三角形。两者的区别在于，全等要求对应边相等，而相似性要求对应边成比例。知识点6 三角形相似的等价关系和三角形相似判断定理的初步定理相似三角形的等价关系： ①自反性：对于任何ABC，都有ABC∽ABC。 ②对称性：若ABC∽A'B'C' ③通信：若ABC∽A'B'C，则，且A'B'C'A'B'CABC。 ABC，则ABC∽ABC 三角形相似性判断定理 初步定理：平行于三角形一侧的一条直线与另外两条边（或两条延长线）相交，形成的三角形与原三角形相似。定理的基本图形：AAEDADEBCBCDEBC(3)(1)(2)数学语言：DE//BC, ∴ADE ∽ABC ．知识点7：三角形相似度的判断方法1、定义方法：三个对应角相等，比例为三个对应边的两个三角形相似。2、parallel 方法：平行于三角形一侧的一条线与另外两条边（或两边的延长线）相交，并且形成的三角形与原三角形相似。3、Judgment 定理1：如果一个三角形的两个角对应另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似。总之，两个角相等，并且两个三角形相似。4、Judgement 定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例对应，且夹角相等，那么这两个三角形相似。总之：两条边对应比例，夹角相等，两个三角形相似。5、Judgment 定理3：如果一个三角形的三个边与另一个三角形的三个边成比例对应，那么这两个三角形相似。简而言之：三边对应比例，两个三角形相似。 6、Judge 直角三角形相似 方法：以上判断均适用。 （2)如果一个直角三角形的斜边和一个右边与另一个直角三角形的斜边和一个右边成比例，那么这两个直角三角形相似。直角 两个高分红的直角三角形在三角形的斜边与原三角形相似。注：投影定理：在直角三角形中，斜边的高是投影在斜边上的两条直角边之比的中项。

每个直角边是直角边在斜边上的投影与斜边之比的中间项。如A所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为斜边BC上的高度，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。 BCD知识点 相似三角形的8种常见形状1、我们来看看相似三角形的基本形状：（1）如图：相似三角形称为“平行线”（与“A型”和“ X形”图形）AADEBCBCDE(1)(2)EDABC(3))如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜型”相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）AAD1EE4E1AD1 D2C22CBC（3）BB）“三竖型”）如图：叫“垂直型”（与“双垂直公角型”、“双垂直公角公共边型”（又称“射影定理型”）AAEEBDEBCC(D)ACDBA(4))如图：∠1= ∠ 2, ∠ B=∠ D, 那么△ADE ∽△ABC, 一个相似的三角形叫做“旋转型” D21E2、几个基本图形的详细应用：BC1）If DE∥ BC（A型和X型） , 那么△ ADE∽△ABC (2）Projective Theorem 如果 CD 是斜边上的高度Rt△ABC（双直角图）222，则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD和AC=AD·AB, CD=AD·BD, BC=BD·AB ；AEDCDEABCBCADB2(3）知足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，可以判断△ADC∽△ACB。 （4）当ADAE或当AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ACABAADDEBCBC 知识点9：同余与相似度的比较：三角形同余三角形有两个角相互对应，一侧相等（ASA ) 判断两个角相似度的初步定理 边对应相等 (AAS) 两个角对应相同的两侧，角度对应相同 (SAS) 两侧对应比，且角度相等 三边对应相同（SSS） 三边对应比率 直角边对应于直角三角形中的斜边 等（HL）直角三角形的斜边对应于一个直角边比率.知识点10 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例.的比值等于相似比.相似三角形周长的比值相等到相似度的比例。相似三角形的面积比等于相似比的平方。注：相似三角形的性质可用于证明线段与等角之比。它还可用于计算周长。边长等知识点11 相似三角形中证明（解）题的法则及辅助线的方法1、四线段比的常用证明方法：线段比的定义及三角形相似度的准备定理利用相似三角形的性质，用中间比代替等量面积关系2、proof问题。常用方法总结：1）大体思路：“等积”变“ratio”，“ratio”找“相似”找相似：通过“横向查找”和“纵向查找”查找三角形，即有横向或纵向看是三个不同的字母，而且这些字母不在同一条直线上，它们可以形成三角形，它们可能相似。那么就可以证明这两个三角形是相似的，然后可以通过相似三角形对应边的比值来证明所需的结论。 （3)求中间比例：如果没有三角形（即横向或纵向看时有四个。字母可能是三个字母，但这些字母在同一条直线上），则需要“转移”（或“替换”）。常用的“替换”方法有三种：等线段替换、等比替换等。替换。即：找相似不找，找中间比例。

方法：表示方程左右两边的比值。 ① am, cm (m为中间比例) ②am, cm, nn'bn dnnbn dn'③ am, cm'( mm', nn'or mm' )bn dn'nn'(4)添加帮助行：如果以上方法不行，可以考虑在构图比例上加辅助线（一般是加平行线），以上步骤可以重复使用，直到结论得到证明。注：加辅助平行线是为了得到比例线线段和类似三角形的重要方式。在平面直角坐标系中，通常使垂直线（即平行线）类似三角形或比例线段。（5）Ratio 问题：常见的处理方法是在k处看“一个副本”；对于比例比例问题，常见的解决方法是将“普通比例”设置为k。（6）。对于复杂的几何图形，我们通常使用的方法是“分离”一些需要的图形（或基本图形） 知识点12 相似多边形的性质类似于多边形的周长比多边形，对应角的比例等于相似度。相似多边形中对应三角形的相似度等于相似多边形的相似度。相似多边形的面积比等于相似度的平方。注意：相似多边形问题通常必须转化为相似三角形才能解决。因此，掌握相似三角形的知识是基础和重点。知识点 13 位相似数字相关的观点、属性和方法。如果两个数字不仅是相似的数字，而且每一组都相互对应。两极的连线都相交于一点，则这两个图形称为相似图形。这个点称为相似中心，此时的相似率也称为相似率。注：（1）相似度图是相似度作为图形的一种特例，类位图形不是单相图像，极点对应的线在一点相交（2）类位图形一定是相似的图形，但相似的图形不一定是类位图形。（3）位似图的对应边是平行的还是共线的。。3.类位图形的本质：距离的比例从随机一对对应点到类位图形的中心等于相似度。注：类位图形具有相似图形的所有属性。4.绘制位形的一般步骤-像形状：（1）确定点状中心（点状中心可以是平面中的随机点）（2）分别连接原图形中的关键点和点状中心，并延伸（或截取）。（3）根据已知的位状图确定关键点在绘制的位状图中的位置比率。 （4）将上面得到的关键点依次连接起来，得到一个放大或缩小的图形。①②③④⑤注：①相似中心可以是平面内的一个随机点，该点可以在图中，也可以在图外，或在人物（在人物边缘或杆子上）。

②外部相似度：相似度中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外部相似度”（即同向相似图） ③内部相似度：位置相似度中心在连接两个对应点的线上点的线段，称为“内相似”（即反向位置相似图）5）在平面直角坐标系中，如果位置相似变换是以原点O为位置相似中心，则相似度为k(k>0），原图上点的坐标为x,y)等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，那么同向相似图对应点的坐标为(kx,ky)，坐标为逆类相似图对应点的对应点是 (-kx,-ky) ，经典示例题透析类别一、相像Triangle的观点1。对还是错：两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰三角形一定长得一模一样吗？为什么？两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形一定一样吗？为什么？两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路：要证明两个三角形相似，需要满足对应角相等，对应边成比例。要表明它们不相似，您只需要否认其中一个条件。解：（1)不一定相似。反面的例子是直角三角形只确定一个直角，其他两个对角可能相等也可能不相等。所以直角三角形可能不相似。不一定相似。A反例是一个等腰三角形，只有两条边相等，底不固定。所以，两个等腰三角形有两条边对应一个比，两个底边的比不一定等于对应的腰，所以等腰三角形不一定相似，它们一定相似。在直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，设AB=a，A'B'=b，则BC=a , B 'C' =b, AC=a, A ' C'=b∴ABC ∽ A' B' C' 一定是相似的。因为等边三角形的所有边都相等，所以每个角都等于60度，所以两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，所以这两个等边三角形必定相似。肯定类似。全等三角形的对应角相等，对应边也相等，所以对应边比是1。，所以全等三角形一定是相似的，相似比是1.同融会【变体1】是两个相似的三角形相似度为 1 全等？分析：一致。因为这两个三角形相似，所以它们对应的角相等。并且相似度为1，所以对应边相等。因此，这两个三角形是全等的。总结与升华：从上面可以看出，在一个特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似。 （1)两直角三角形，两个等腰三角形不一定相似。（2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似。（3)两个全等三角形一定相似，相似比为1；相似 比率为 1 的两个相似三角形是全等的。[变体 2] 以下相似三角形的集合是 ()A. 所有直角三角形 B. 所有等腰三角形 C. 所有等腰直角三角形 D. All 具有以下条件的三角形的分析A的一侧与这一侧的高度相同：根据相似三角形的角度，判断一个三角形是否相似等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，必须满足三个角相等，并且三个对应边的比值相等. A 中只有一组直角相等，其余的 的对应角是否相等未知； B 中什么条件不满足； D 中只有一个对应边具有相同的比值； 所有C中的三角形是三角形s由90°、45°、45°角组成，对应边的比值也相等。答案是C。类型二、look like triangle 判断2.如下图，E是AB的延长线上的一点，AB=3BE，DE和BC相交于F，请找出图中的每一个对相似的三角形，并找到相应的相似度。思路：由AB∥CD，AD∥BC可知，再根据平行线求相似三角形。解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，AD∥BC，△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比当△BEF ∽△ 在AED中，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比。总结与升华：在这道题中，△BEF、△CDF、△AED都是相似的，形成三对相似三角形。寻找相似度不仅仅是寻找对应的边。还要注意两个三角形的顺序。如果顺序颠倒，相似度变成原来的倒数。 3、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6. 在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△ EDF有类似NS吗？为什么？思路：知道△ABC和△EDF都是直角三角形，而且两边的长度都是已知的，所以可以用勾股定理分别求第三边AC和DE，然后看三边是否对应到比率。解：在Rt △ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°。来自勾股定理。在 Rt△DEF 中，DF=3，EF=4，∠ F=90°。由勾股定理可知，.在△ABC和△EDF中，,,,,,∴,∴△ABC∽△EDF（三边对应一个比值，两个三角形相似）。总结升华：（1)这道题容易出错，只看3,6,4,10如果四个线段不成比例，判断两个三角形不相似。用三个边来判断两个三角形相似，应该看三角形的三边对应的是比率，而不是两条边。（2)这个问题也只能求AC的长度，用两组对应边有相等比率和夹角相等，判断两个三角形相似。 4. 如下图，D点在△ABC的边AB上，满足什么条件，△ACD和△ABC相似？枚举。分：本题为探索性题，从相似三角形的辨识方法可以看出，△ACD和△ABC有一个公角∠A，要使这两个三角形相似，可以根据识别相似三角形 解决方案：当三个条件之一成立时wn，△ACD ∽△ABC。条件一：∠ 1= ∠ B。条件二：∠ 2= ∠ ACB。条件三：即总结升华：这道题的关键在于探索识别相似三角形的方法。在探索两个三角形的相似性时，利用分析法，可以先假设△ACD∽△ABC，然后求出两个三角形的边或角的关系。当条件4出现时，这个问题很容易出错：。不符合条件“最小化”原则，因为条件3可以使问题成立，所以条件4是错误的。连通性和荣辉[变体1]已知：在正方形ABCD中，P是BC上的一个点，而BP=3PC，Q是CD的中点。证明：△ADQ ∽△QCP。思想点拨盘：因为△ADQ和△QCP是直角三角形，虽然它们的直角相等，但不知道AQ和PQ是否垂直，所以不能用。两个角度对应相等判断。而四边形ABCD是正方形，Q是CD的中点，BP=3PC，所以可以用对应边成比例，角度相等的方法来判断。具体证明过程如下： 证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4和∵BC=2DQ，∴=2在△ADQ和△QCP中，= , ∠ C=∠ D=90°, ∴△ ADQ ∽ △ QCP．[变体2] 如图所示，弦与弦相交于内一点，验证：。观点：问题是验证等积方程，我们可以将其转化为比率方程，然后求出应该证明哪两个三角形相似。同时，圆中间的圆为同圆弧或等圆弧的圆。等角应灵活使用。证明：连接，。在∴∽∴。 【变体3】已知：如图所示，AD为△ABC的高度，E、F分别为AB、AC的中点。验证：△DFE∽△ABC．思想点：EF是△ABC的中线，EF=BC，DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC。因此，考虑使用三个边对应一个比率的两个三角形来相互相似。证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，∴DE=AB，即=。同样=。 EF为△ABC的中线，∴EF=BC，即=。 ∴==. ∴△DFE ∽△ ABC．总结与升华：这道题的证明方法很多。可以证明∠EDF= ∠ EDA+ ∠ ADF= ∠ EAD+ ∠ FAD= ∠ BAC，然后证明这个角的两侧成比例，即=，也可以证明∠ FED= ∠EDB= ∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证明△DEF∽△ABC。物种性质三、相状三角形 5. △ABC ∽△DEF，如果△ABC的边长分别是5cm、6cm、7cm、4cm是△DEF一侧的长度，你能找出△DEF 的另外两条边的长度？尝试解释原因。思路：因为没有说4cm的长度是△DEF的最大边还是最小边，所以需要分三种情况来讨论。解：设另外两条边为xcm、ycm、x

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