高等微积分 笨人学数学的一点心得(5)

２.我需要重申这篇文章的读者定位：首先是需要应用数学的理工科和社科同学，以及想学基础数学但中学期间没有受过系统训练的数学系同学（奥赛可以近似看作系统的思维训练而非数学训练，下文详述）。学习安排也需要明确一下：建议利用大一大二专业课不是特别重的时间（这是美国的情况，国内有些专业大一大二课程较重），尽可能利用选课或旁听的条件来掌握相当于国内数学系大一的数学分析和高等代数。国内这是四门课（各两学期），美国则是微积分两门，基础线形代数一门，高等代数一门，数学分析一到两门，故为五到六门，但实际工作量并不比国内的四门更多。这个工作量对于大多数比较努力的同学应该不难达成。至于抽象代数、实分析和复分析等并非对所有理工科和社科均必需，请根据具体情况按需学习。

３．一些具体的数学内容：首先是线性代数和高等代数的区别：我当然知道这两个学术领域范畴有差别，而不仅仅是难度和对证明的要求不同。但这里谈的是课程名称。美国的Introduction to Linear Algebra确实是数学系第一门代数类课程，接着是Linear Algebra。美国一般没有对应于“高等代数”的“Higher Algebra”或“Advanced Algebra”的课程名称。这两门学完，课程进度上等同于国内学完一年高等代数，下面可以学抽象代数了。然后是Gelfand读完EGA，我当时确实看到过一则消息这样写的，未加考证就直接用了，是我的失误，在此致歉。其实Gelfand比Grothendieck要年长不少，他15岁的时候Grothendieck还在童年。

4.关于教材的推荐：有人说我推荐的都太难，请去读Stewart 的微积分和陶哲轩的Analysis半小时，然后是否还是坚持此观点。Rudin的书主要是思路跳跃性大，讲完一个知识点马上就要灵活运用，而且默认读者的微积分和集合论有很好的基础，故不适合作为第一本分析教材。而卓里奇是知识量大并且对思维考察事无巨细，需要经常查资料或有老师带。如果这些都感到难，陶哲轩应当是最好的第一本分析教材之一，在解答的详细度和思路的严谨性上都堪称一绝。至于国内的教材的问题，主要不在定义上的错误，而在思路上的舍近求远和表述上的佶屈聱牙。比如同济版《线性代数》，上来先用一个很奇怪的“逆序数”概念来导出行列式的一个很不直观的定义（见《理解矩阵》）。又如同济的高等数学，这个的知识性错误见（）。当初我是听我们中学数学第一高手说的。此人高一做完Baby Rudin，高考去南京大学大气科学系，大二转入数学系后三年毕业（总共四年，未降级），然后去宾夕法尼亚大学从事微分几何和动力系统的研究。他入学就去听卡拉比的讨论班并提出让卡拉比都要思考片刻的问题。并非国内的数学教材都不好，只是每个领域，都是国外的更好一些。国外的书很多网站可以找到免费的，何必看国内的？

4.关于奥赛：奥数比起高考的数学，难度和深度上高很多，对锻炼思维有好处。但奥赛和科研路子还是不一样，如果是纯搞奥数，到研究阶段未必有大成就。陶哲轩的情况是小学时学完了澳洲的高中数学，小学高年级就在家附近的大学听数学课，然后12岁起顺手去参加奥赛。故想做数学家，比较容易达成的路子是童子功加上正统大学数学教学为主，奥赛成绩如何并无决定性意义。

6.关于健身。用DNF的技能只是比喻，毕竟这几招很有渐进性。锻炼腹肌不仅男生可以练习，女生练也不错。健身房里时时有女生做腹肌撕裂者。一次学校主健身房人太多，改去一个宿舍楼的健身房，遇到一个身材修长堪比超模的白人女生，脚夹20磅哑铃做负重悬垂举腿，一组20个。女生如果担心长肌肉，只要不吃蛋白质粉，并且使用每组能做20次以上的较轻重量即可。