新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题

新人教版八年级下册勾股公式全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 基础知识点： １．勾股公式 内容：直角三角形两直角边的平方和等于底边的平方 直角三角形两直角边的平方和等于底边的平方； 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 如果直角三角形的两直角边分别为 ２.勾股定理的证明 勾股公式的证明 勾股定理的证明方式太多，常见的是拼图的方式 用拼图的技巧验证勾股定理的策略是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方式，列出方程，推导出勾股定理 常见方式如下： 1 方法一： 4 S? + S正方形EFGH = S正方形ABCD等腰三角形知识点及典型习题教案模板3， 4 × ab + (b ? a) 2 = c 2 ，化简可证． 2 方法二：四个直角三角形的体积与小正方形面积的跟等于大正方形的周长．四个直角A c BD H E F b G aC1 三角形的体积与小正方形面积的跟为 S = 4 × ab + c 2 = 2ab + c 2 2 S = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2大正方形面积为b a c c c c a b a a b所以 a 2 + b 2 = c 2b方法三： S梯形1 1 1 = (a + b) ? (a + b) ， S梯形 = 2S?ADE + S?ABE = 2 ? ab + c 2 ，化简得证 2 2 2３.勾股定理的适用范围 勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的次数关系，它只适用于直角三角形，对 于外角三角形和钝角三角形的三边就不具备这一特点。

４.勾股公式的应用 勾股定理的应用①已知直角三角形的任意一侧长，求第三边在 ?ABC 中， ∠C = 90° ，BAaD bcc bE a C则 c = a + b ， b = c ? a ， a = c ? b ②知道直角三角形一边，可得另外一侧之间2 2 2 2 2 2的数量关系③可利用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 那么这个三角形是直角三角形 这个三角形是等腰三角形， 为底边。 如果三角形三长度 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要手段，它借助“数转换为形” 来确认三角形的或许形状， 在利用这一定理时， 可用两小边的平方和 a 2 + b 2 与较长边的平方 c 2 作 比较，若他们相同时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形； ② 若 a 2 + b 2 < c 2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a 2 + b 2 > c 2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； ③ 定理中 a ，b ，c 及 a 2 + b 2 = c 2 只是一种表现形式， 不可认为是惟一的， 如若三角形三边长 a ，b ， 2 2 2 c 满足 a + c = b ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边 ６.勾股数 勾股数 ①能够构成直角三角形的三周长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 + b 2 = c 2 中，a ，b ，c 为正整数时， 能够构成直角三角形的三周长的三个正整数称为勾股数， 为正整数时， 能够构成直角三角形的三周长的三个正整数称为勾股数 称 a ， b ， c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以减少解题速度，如 3, 4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24, 25 等 ③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：n 2 ? 1,2n, n 2 + 1 （ n ≥ 2, n 为正整数） 2n + 1,2n 2 + 2n,2n2 + 2n + 1 （ n 为正整数） m 2 ? n 2 , 2mn, m 2 + n2 ；（ m > n, m ， n 为正整数）1７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的半径的推导或直角三角形中垂线之间的 关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须掌握直角三角形的前提条件，了解直角 三角形中，斜边和直角边各是什么，以便利用勾股定理进行推导，应设法添加辅助 线（通常作线段） 构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ，构造直角三角形 （通常作线段） 构造直角三角形， ， ． ８.勾股定理逆定理的应用 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们借助三角形三边之间的数目关系判定一个三角形是否是直角三角形，在 具体计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行非常，切不可不加思考的用两边的平方和 与第三边的平方比较而受到错误的推论． ９.勾股公式及其逆定理的应用 勾股公式及其逆定理的应用 勾股公式以及逆定理在解决一些实际问题或详细的几何难题中，是密不可分的一个整体．通常又应通 过逆定理判定一个三角形是等腰三角形，又要用勾股定理求出边的宽度，二者相辅相成，完成对问题CCC30° A BADBBDA的解决．常见图形：10、 10、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和推论分别是另一个命题的论断和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如 果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。C二、经典例题精讲 经典解法精讲 题型一： 题型一：直接考查勾股公式 例题 1 例１.在 ?ABC 中， ∠C = 90° ． ⑴已知 AC = 6 ， BC = 8 ．求 AB 的长 ⑵已知 AB = 17 ， AC = 15 ，求 BC 的长预测：直接应用勾股公式 a 2 + b 2 = c 2 题型二： 题型二：利用余弦定律测量长度BDA例题 2 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 解析： 解析：这是一道大家熟悉的典型的“知二求一”的题。把实物模型转换为物理建模后，.已知斜边 长和一条直角边长，求另外一条直角边的宽度，可以直接运用勾股定理！ 例题 3 如图（8），水池中离海边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0. 5 米，把芦苇拉到对岸，它的边沿 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.解析： 解析： x +1.5 =（ x+0.5）2 22解之得 x=2.题型三：勾股公式和逆定理并用—— 题型三 勾股定理和逆定理并用—— 勾股定理和逆定理并用2例题 4 如图 3，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的中点，F 是 AB 上一点，且 FB = 是直角三角形吗？为什么？ 4a， FB=a。

设：B 长度为 4a，那么 FB=a。 注：本题利用了四次勾股公式，是把握勾股定理的必练习题。 本题利用了四次勾股公式，是把握勾股定理的必练习题。 题型四：利用余弦定律求线段长度—— 题型四 利用余弦定律求线段宽度—— 利用余弦定律求线段长度 例题 5 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E， 将△ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长. 解析： 解析：解题之前先弄明白折叠中的不变量。合理设元是关键。 ∴x=3(cm),即 CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的宽度跟求重叠部分的面积。 本题接下来还可以折痕的宽度跟求重叠部分的面积。 题型五：利用余弦定律逆定理判断垂直—— 题型五：利用余弦定律逆定理判断垂直——1 AB 那么△DEF 4例题 6 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否平行与 AB 边跟 CD 边，他测得 AD=80cm，AB= 60cm，BD=100cm，AD 边与 AB 边垂直吗？怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直？ （于实物一般非常大，长度不容易用尺子来便于测量。

我们一般截取部分长度来 验证。） 例题 7 有一个传感器控制的灯，安装在门顶部，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以 内，灯就手动开启，一个身高 1.5 米的学生，要跑到离门多远的地方灯恰好打开？ 解析： 解析：首先要弄清楚人跑过去，是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米，可想 而知必须是头先距离灯 5 米。转化为数学建模，如图 6 所示，A 点表示控制灯，BM 表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN 当头（B 点）距离 A 有 5 米时，求 BC 的长度。已知 AN=4.5 米,所以 AC=3 米，由勾股公式，可推导 BC=4 米.即使要跑至距门 4 米的之后 灯恰好打开。 题型六：旋转问题： 题型六 旋转问题： 旋转问题 变式 1：如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB= 2 3 ,PC=4,求△ABC 的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中至同一个三角形中， 根据他们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°， 试探究 BE 、CF 、EF 间的关系，并表明理由.2 2 23题型七：关于翻折问题 题型七 关于翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm，BC=6cm等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，E 为 BC 上一点，将圆形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长. 变式： 如图， 是△ABC 的中线， AD ∠ADC=45°， 把△ADC 沿直线 AD 翻折， C 落在点 C’的位置， 点 BC=4, 求 BC’的长.题型八：关于勾股公式在实际中的应用 题型八 关于勾股定理在实际中的应用： 关于勾股定理在实际中的应用 例 1、 如图， 公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇， A 处有一所中学， 点 AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时， 周围 100 米以内会得到噪音影响，那么拖拉机在道路 MN 上沿 PN 方 向行驶时，学校能否会得到影响，请说明原因；如果得到影响，已知 拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校遭到影响的时间为多少？MQP N A题型九：关于最短性问题 题型九 关于最短性问题 例 5、如右图 1－19，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它看到在自己的正上方油 罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕获这只害虫，为了不造成害虫的切记，它刻意不走直线，而是绕着油罐， 沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到顺利，获得了一顿美餐．请问壁虎至少应 爬行多少路程才能捕到害虫?（π取 3.14，结果保留 1 位整数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其长度都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点 沿表面爬行到右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？4勾股定理测试题一、选择题 1.下列各变量中，不能作为直角三角形三长度的是 ( ) A. 9,12,15 B.5,12,13 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.分别以以下五组数为一个三角形的长度：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；1 1 1 ⑤3 2 ，4 2 ，5 2 .其中可组成直角三角形的有（）组A.2 B.3 C.4 D.5 3.将直角三角形的各边都缩小或缩减同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 4.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点至杆的距离为15m，则估计点至杆顶的距离为（设 目高为1m） ( ) A.20m B.25m C.30m D.35m 5.一等边三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )A. 12cmB.C.D.6．已知直角三角形一个锐角 60°，斜边长为 1，那么此直角三角形的边长是（ ） A.5 2B.3C. 3 +2D.3 +3 2二、填空题 7.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母 A 所代表的正方形面积是_______.(第5题)（第6题)_8. 如图，一根树在距地面9米处坍塌，树的上方落在距底部12米处.树折断之前有______米. 9.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 . 10.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的面积为 . 11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形 P、Q、K，若 SP＝4，SQ＝9，则 Sk＝ 12.直角三角形两条直角边的长分别为 5、12，则斜边上的高为 . 13．在△ABC 中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则 AC 的长必为______cm. .三、解答题 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往北走8千米，又 往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向西跑了6千米处往北一拐，仅跑了1千米就找到宝 藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米？511.P 为正方形 ABCD 内一点， 将△ABP 绕 B 顺时针旋转90°到△CBE BP＝a.求：以 PE 为半径的正方形的体积.的位置，若12.已知:如图13,△ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17.求 BC 边上的高.13.从旗杆的顶部系一条绳子，垂到地面还多 2 米，小敏拉起绳子上端绷紧，刚好接触地面，发现 绳子上端距离旗杆顶部 8 米，小敏马上计算出旗杆的高度，你了解她是怎样解的吗？13.如下图，一个牧童在树林的西 4km 的 A 处牧马，而他的小屋坐落他的西 7km 东 8km 处，他想 把他的马牵到小湖边去饮水，然后回去.他要完成这件事情所跑的最短路程是多少？小河北 牧童 A 东 B 小屋6