2018年九年级数学第二学期学优生拔高课程教案

2018年九年级数学第二学期学优生拔高课程讲义二次函数与直角三角形的综合问题知识点二次函数综合等腰三角形的性质与判断相似三角形的性质教学目标1熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活采用数形结合思想教学重点巧妙利用数形结合思想解决综合问题教学难点灵活采用技法及技巧解决综合问题知识讲解考点1二次函数的基础知识1一般地如果yax2bxcabc是系数且a≠0那么y叫做x的二次函数它是关于自变量的二次式二次项系数必须是非零实数时才是二次函数这只是判断方程是不是二次函数的重要根据．当bc0时二次函数yax2是很简单的二次函数．2二次函数yax2bxcabc是系数a≠0的三种表达方式分别为一般式yax2bxc通常要知道图像上的三个点的坐标能够得出此解析式顶点式yax－h2k通常要知道顶点坐标或对称轴能够求出此解析式交点式yax－x1x－x2通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1x2才能求出此解析式对于yax2bxc而言其顶点坐标为－．对于yax－h2k而言其顶点坐标为hk由于二次函数的图像为抛物线因此关键要把握抛物线的三要素开口方向对称轴顶点．考点2等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角度数相同简写成等边对等角2等腰三角形的内角的平分线底边上的中线底边上的高重合简写成直角三角形的三线合一性质3等腰三角形的两底角的平分线相同两条腰上的中线相同两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相同5等腰三角形的一腰上的高与斜边的倾角等于夹角的一半6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之跟等于一腰上的高需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形不是等边三角形的情况下只有一条对称轴顶角平分线所在的线段是它的对称轴等边三角形有三条对称轴8等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9等腰三角形的腰与它的高的直接的关系是腰大于高间接的关系是腰的平方等于高的平方加底的一半的平方考点3探究等腰三角形的通常思路研究等腰三角形的存在性问题时准确方式如下1假设结论成立2找点当所帮定长未表明是等腰的底还是腰时需分状况探讨具体办法如下①当定长为腰时找已知直线上满足条件的点时以定长的某一端点为圆心以定长为直径画弧若所画弧与数轴或抛物线有端点且交点不是定长的另一端点时交点即为所求的点若所画弧与数轴或抛物线无交点或

交点是定长的另一端点时满足条件的点不存在②当定长为底边时按照尺规作图作出定长的垂直平分线若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有端点则交点即为所求的点若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点则满足条件的点不存在以上步骤就能找出所有符合条件的点3计算在求点坐标时大多时候运用相似三角形求解如果图形中没有相似三角形可以借助添加辅助线构造相同三角形有时也能运用直角三角形的性质进行求解例题精析例1如图抛物线y＝-x2x-4与x轴相交于点ＡＢ与y轴相交于点Ｃ抛物线的对称轴与x轴相交于点ＭＰ是抛物线在x轴上面的一个动点点ＰＭＣ不在同一条直线上分别过点ＡＢ作线段ＣＰ的切线垂足分别为ＤＥ连接ＭＤＭＥ1求点ＡＢ的坐标直接写出结果并证明△ＭＤＥ是等腰三角形2△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形若可求此时点Ｐ的坐标若不能说明原因3若将Ｐ是抛物线在x轴上面的一个动点点ＰＭＣ不在同一条直线上改为Ｐ是抛物线在x轴下方的一个动点其他条件不变△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形若可求此时点Ｐ的坐标直接说出结果若不能说明原因例2如图已知抛物线y﹣x2bx4与x轴相交于AB两点与y轴相交于点C若已知A点的坐标为A﹣20．1求抛物线的解析式及它的对称轴方程2求点C的坐标连接ACBC并求线段BC所在直线的解析式3试判断△AOC与△COB是否相同并表明理由4在抛物线的对称轴上能否存在点Q使△ACQ为直角三角形若不存在求出合乎条件的Q点坐标若不存在请说明原因．例3如图已知抛物线yax2bxc与x轴的一个交点为A30与y轴的交点为B03其顶点为C对称轴为x1．1求抛物线的解析式2已知点M为y轴上的一个动点当△ABM为等腰三角形时求点M的坐标3将△AOB沿x轴向下平移m个单位宽度0＜m＜3得到另一个三角形将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S用m的代数式表示S．例4在平面直角坐标系xOy中抛物线yx2﹣mnxmnm＞n与x轴相交于AB两点点A位于点B的左侧与y轴相交于点C．1若m2n1求AB两点的坐标2若AB两点分别位于y轴的右侧C点坐标是0﹣1求∠ACB的大小3若m2△ABC是直角三角形求n的值．例5如图抛物线yax2bxca≠0的图象过点M﹣2顶点坐标为N﹣1且与x轴交于AB两点与y轴交于C点．1求抛物线的解析式2点P为抛物线对称轴上的动点当△PBC为直角三角形时

求点P的坐标3在直线AC上能否存在一点Q使△QBM的周长最小若存在求出Q点坐标若不存在请说明原因．课程小结有针对性的对等腰三角形的性质相近三角形的性质及二次函数的基础知识进行备考有助于为探究二次函数与直角三角形的综合问题提供有利的根据在研究二次函数与直角三角形的综合问题时把握已有的信息及条件在方程图像中构造出直角三角形并可利用等腰三角形的性质解决难题掌握这种弊端的解题模式及方法是缓解问题的关键例1规范解答1抛物线解析式为y﹣x2x﹣4令y0即﹣x2x﹣40解得x1或x5∴A10B50．如答图1所示分别延长AD与EM交于点F∵AD⊥PCBE⊥PC∴AD∥BE∴∠MAF∠MBE在△AMF与△BME中∠MAF∠MBEMAMB∠AMF∠BME∴△AMF≌△BMEASA∴MEMF即点M为Rt△EDF斜边EF的中点∴MDME即△MDE是直角三角形2能抛物线解析式为y﹣x2x﹣4﹣x﹣32∴对称轴是线段x3M30令x0得y﹣4∴C0﹣4△MDE为等腰直角三角形有3种可能的情形①若DE⊥EM由DE⊥BE可知点EMB在一条直线上而点BM在x轴上因而点E必然在x轴上由DE⊥BE可知点E只能与点O重合即线段PC与y轴重合不符合题意故此种情况不存在②若DE⊥DM与①同理可知此种情况不存在③若EM⊥DM如答图2所示设线段PC与对称轴交于点N∵EM⊥DMMN⊥AM∴∠EMN∠DMA在△ADM与△NEM中∠EMN∠DMAEMDM∠ADM∠NEM135°∴△ADM≌△NEMASA∴MNMA抛物线解析式为y﹣x2x﹣4﹣x﹣32故对称轴是线段x3∴M30MNMA2∴N32设线段PC解析式为ykxb∵点N32C0﹣4在抛物线上∴解得k2b﹣4∴y2x﹣4将y2x﹣4代入抛物线解析式得2x﹣4﹣x2x﹣4解得x0或x当x0时交点为点C当x时y2x﹣43∴P3综上所述△MDE能作为等腰直角三角形此时点P坐标为33能如答题3所示设对称轴与线段PC交于点N与2同理可知若△MDE为等腰直角三角形直角顶点只能是点M∵MD⊥MEMA⊥MN∴∠DMN∠EMB在△DMN与△EMB中∠DMN∠EMBMDMB∠MDN∠MEB45°∴△DMN≌△EMBASA∴MNMB∴N3﹣2设线段PC解析式为ykxb∵点N3﹣2C0﹣4在抛物线上∴解得kb﹣4∴yx﹣4将yx﹣

4代入抛物线解析式得x﹣4﹣x2x﹣4解得x0或x当x0时交点为点C当x时yx﹣4∴P综上所述△MDE能成为等腰直角三角形此时点P坐标为小结与思考1在抛物线解析式中令y0解一元二次方程可求得点A点B的坐标如答图1所示作辅助线构造全等三角形△AMF≌△BME得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点从而受到MDME问题得证2首先预测若△MDE为等腰直角三角形直角顶点只能是点M如答图2所示设线段PC与对称轴交于点N首先证明△ADM≌△NEM得到MNAM从而求得点N坐标为32其次利用点N点C坐标求出直线PC的解析式最后联立直线PC与抛物线的解析式求出点P的坐标3当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时解题模式与2完全相似例2规范解答1∵抛物线y﹣x2bx4的图象经过点A﹣20∴﹣×﹣22b×﹣240解得b∴抛物线解析式为y﹣x2x4又∵y﹣x2x4﹣x﹣32∴对称轴方程为x3．2在y﹣x2x4中让x0得y4∴C04令y0即﹣x2x40整理得x2﹣6x﹣160解得x8或x﹣2∴A﹣20B80．设线段BC的解析式为ykxb把B80C04的坐标分别代入解析式得解得kb4∴直线BC的解析式为yx4．3可判定△AOC∽△COB成立．理由如下在△AOC与△COB中∵OA2OC4OB8∴又∵∠AOC∠BOC90°∴△AOC∽△COB．4∵抛物线的对称轴方程为x3可设点Q3t则能求得ACAQCQ．①当AQCQ时有25t2t2﹣8t169解得t0∴Q130②当ACAQ时有t2﹣5此函数无整数根∴此时△ACQ不能构成等腰三角形③当ACCQ时有整理得t2﹣8t50解得t4±∴点Q坐标为Q234Q334﹣．综上所述存在点Q使△ACQ为直角三角形点Q的坐标为Q130Q234Q334﹣．总结与思考1利用待定系数法求出抛物线解析式利用配方式或运用公式x求出对称轴方程2在抛物线解析式中让x0可求出点C坐标令y0可求出点B坐标．再运用待定系数法求出直线BD的解析式3根据∠AOC∠BOC90°可以判定△AOC∽△COB4本问为存在型问题．若△ACQ为直角三角形则有三种可能的情形必须分类争论逐一计算导致漏解．例3规范解答解1由题意可知抛物线yax2bxc与x轴的另一个交点为﹣10则解得．故抛物线的解析式为y﹣x22x3．2①当MAMB时M00②当ABAM时

等腰三角形知识点及典型习题教案模板3

M0﹣3③当ABBM时M033或M03﹣3．所以点M的坐标为000﹣303303﹣3．3平移后的三角形记为△PEF．设线段AB的解析式为ykxb则解得．则直线AB的解析式为y﹣x3．△AOB沿x轴向下平移m个单位宽度0＜m＜3得到△PEF易得直线EF的解析式为y﹣x3m．设线段AC的解析式为yk′xb′则解得．则直线AC的解析式为y﹣2x6．连结BE直线BE交AC于G则G3．在△AOB沿x轴向下平移的过程中．①当0＜m≤时如图1所示．设PE交AB于KEF交AC于M．则BEEKmPKPA3﹣m联立解得即点M3﹣m2m．故SS△PEF﹣S△PAK﹣S△AFMPE2﹣PK2﹣AFh﹣3﹣m2﹣m2m﹣m23m．②当＜m＜3时如图2所示．设PE交AB于K交AC于H．因为BEm所以PKPA3﹣m又由于直线AC的解析式为y﹣2x6所以当xm时得y6﹣2m所以点Hm6﹣2m．故SS△PAH﹣S△PAKPAPH﹣PA2﹣3﹣m6﹣2m﹣3﹣m2m2﹣3m．综上所述当0＜m≤时S﹣m23m当＜m＜3时Sm2﹣3m．总结与思考1根据对称轴可知抛物线yax2bxc与x轴的另一个交点为﹣10根据待定系数法可得抛物线的解析式为y﹣x22x3．2分三种情况①当MAMB时②当ABAM时③当ABBM时三种状况讨论可得点M的坐标．3平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y﹣x3．易得直线EF的解析式为y﹣x3m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE直线BE交AC于G则G3．在△AOB沿x轴向下平移的过程中．分二种情况①当0＜m≤时②当＜m＜3时讨论可得用m的代数式表示S．例4规范解答解1∵yx2﹣mnxmnx﹣mx﹣n∴xm或xn时y都为0∵m＞n且点A位于点B的右侧∴Am0Bn0．∵m2n1∴A20B10．2∵抛物线yx2﹣mnxmnm＞n过C0﹣1∴﹣1mn∴n﹣∵Bn0∴B﹣0．∵AOmBO﹣CO1∴ACBCABAOBOm﹣∵m﹣222∴AB2AC2BC2∴∠ACB90°．3∵Am0Bn0C0mn且m2∴A20Bn0C02n．∴AO2BOnCO2n∴ACBCnABxA﹣xB2﹣n．①当ACBC时n解得n2AB两点重合舍去或n﹣2②当ACAB时2﹣n解得n0BC两点重合舍去或n﹣③当BCAB时n2等腰三角形知识点及典型习题教案模板3

﹣n当n＞0时n2﹣n解得n当n＜0时﹣n2﹣n解得n﹣．综上所述n﹣2﹣﹣时△ABC是直角三角形．总结与思考1已知mn的值即已知抛物线解析式求解y0时的解即可．此时yx2﹣mnxmnx﹣mx﹣n所以也能直接求出函数的解再代入mn的值推荐此方法由于后问用到的可能性比较大．2求∠ACB我们没法考虑讨论三角形ABC的颜色来判定因此运用条件易得﹣1mn进而可以用m来表示AB点的坐标又C已知则易得ABBCAC边长．讨论即可．3△ABC是等腰三角形即有三种情形ABACABBCACBC．由2我们可以用n表示出其五边长则分别考虑列函数求解n即可．例5规范解答解1由抛物线顶点坐标为N﹣1可设其解析式为yax12将M﹣2代入得a﹣212解得a﹣故所求抛物线的解析式为y﹣x2﹣x2∵y﹣x2﹣x∴x0时y∴C0．y0时﹣x2﹣x0解得x1或x﹣3∴A10B﹣30∴BC2．设P﹣1m显然PB≠PC但是当CPCB时有CP2解得m±当BPBC时有BP2解得m±2．综上当△PBC为等腰三角形时点P的坐标为﹣1﹣1﹣﹣12﹣1﹣23由2知BC2AC2AB4所以BC2AC2AB2即BC⊥AC．连结BC并延长到B′使B′CBC连结B′M交线段AC于点Q∵BB′关于直线AC对称∴QBQB′∴QBQMQB′QMMB′又BM2所以此时△QBM的边长最小．由B﹣30C0易得B′32．设线段MB′的解析式为ykxn将M﹣2B′32代入得解得即线段MB′的解析式为yx．同理可求得直线AC的解析式为y﹣x．由解得即Q﹣．所以在直线AC上存在一点Q﹣使△QBM的周长最小．总结与思考1先由抛物线的顶点坐标为N﹣1可设其解析式为yax12再将M﹣2代入得a﹣212解函数求出a的值就能得到抛物线的解析式2先求出抛物线y﹣x2﹣x与x轴交点AB与y轴交点C的坐标再按照勾股公式得到BC2．设P﹣1m显然PB≠PC但是当△PBC为等腰三角形时分两种状况进行探讨①CPCB②BPBC3先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC连结BC并延长到B′使B′CBC连结B′M交直线AC于点Q由轴对称的性质可知此时△QBM的边长最小由B﹣30C0根据中点坐标公式求出B′32再利用待定系数法求出直线MB′的解析式为yx直线AC的解析式为y﹣x然后解函数组就能求出Q点的坐标．PAGE1