《一次函数》教学实例

本节课在学员经历对长期源自实际背景的解析式的剖析比较后，抽象概括出他们的通常结构，从而产生一次函数的概念．而在辩析与应用中把握并进一步理解概念．在常识的获得过程中，始终交织着旧知与新知，变与不变，相同与不同的对立与统一．

一、教学目标

1.知识目标：

① 让学生经历对准确情境的探讨过程，通过列举生活例子观察、比较、探索、归纳得出一次函数概念，并会写表达式。

② 理解一次函数与正比例函数的联系和区别。

③ 培养学生独立构想与合作交流的素养。初步发展她们抽象思维能力跟发展它们的数学应用能力。

2、能力目标：

① 经历通常规律的探求过程、发展学生的抽象思维能力。

② 通过由已知信息写一次方程表达式的过程，发展学生的物理应用素养。

3、情感目标：

①体验函数与人类生活的紧密联系，增强对函数学习的求知。，

②体验数学充满着探索性和创造性一次函数教案格式，从而培养教师对学习英语的兴趣。

二、教学重难点：

重点:① 一次函数、正比例函数的概念及关系。

② 会按照已知信息写出一次函数的表达式。

难点：建立一次函数建模解决实际问题

三、教学方法：

引导发现与自主探究

四、设计思路：

以“问题情境——自主研究——拓展应用”的方式展开教学。首先，创设问题情境，激发师生的好奇心和求知欲；其次进行知识的横纵联系，抽象概括，将理性知识上升至理性认识；最后，在习题演练中巩固概念，理解概念，让学员认识到数学常识在缓解实际问题中发挥的功效，从而提高对物理学科的喜爱。

五、教学过程

（一） 创设情境导入新课

（1）小明乘车遇到一个函数问题，同学们能给他解答吗？

问题1：小明暑期第一次去上海，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米/时，已知A地直达成都的高速公路里程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距离北京的路途和车辆在高架

公路上行驶的时间有哪些关系，以便按照时间大概自己跟北京的距离。

学生独立后交流，尝试解决以下问题：

①常量是哪个？ ②变量有几个，分别是哪个？ ③小明能得到一个什么样的关系式？④你可用含有y与x的解析式表示出两个变量间的对应关系吗？

全班交流，达成共识：汽车距北京的路途随着行车时间差异而变迁。题中常量是两地距离570千米和车辆行车的平均速率95千米/时；变量是汽车距北京的路途与车辆行车的时间；故能设汽车距成都的车程为y（千米），汽车行驶的时间为x（小时），所以y与x的解析式为：y=570-95x(也可写作y= -95x+570)。教师追问这个函数是正比例函数吗？你们想知道这是哪个函数，它有什么性质吗？

（二）合作交流研究新知

1、一次函数的意义

问题2：思考以下问题中变量间的对应关系，可用怎样的函数表示？

（1） 有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与频率t(单位：℃)有关，即c的值约是t的7倍于35的差；

（2） 一种计算成年人标准身高G（单位：千克）的方式是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得的差是G

的值；

（3） 某城市的室内电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按0.1元/分收取；

（4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长增大x cm，宽不变，长方形的周长y（单位：cm2 ）随x的值而变化。

学生独立探讨后交流回答，教师板书：

（1） c=7t-35 （2） G=h-105 （3） y=0.1x+22 （4）y=-5x+50

追问①：上述函数解析式有哪些共同特征？

讨论归纳：上述5个函数的方式都是自变量与一个常数的相乘，在加上一个常数。

追问②：你可用一个表达式表示这一共同特点吗？

学生探讨、讨论、交流，教师鼓励、点播达成共识，上述方程都是用含有自变量次数为1的即将表示的，因此，可用形如y=kx+b来表示。

归纳概括一次函数的涵义：一般地，形如y=kx+b（k 、b是系数，k≠0）的方程，叫一次函数。

③讨论：对于y=kx+b中的k可以等于0吗？b可以等于0吗？如b=0函数的式子是什么样的？师生共同归纳得

出：k可以等于0，若k=0,则y=b,有定义可知就不是一次函数了；b可以等于0，若b=0，函数方程变为y=kx（ k≠0）,此时的方程就是正比例函数了，它是一种特殊的一次函数。

用小黑板出示：一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k 、b是系数，k≠0）的方程，叫一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2、课堂练习

（1）判断正误

① 一次函数是正比例函数 。

② 正比例函数是一次函数。

③ y=2x是一次函数

④ y=2x-5是一次函数。

⑤2x+y=3是一次函数。

⑥ y=kx+b（k 、b是系数）是一次函数。

（2）下列方程中，那些是一次函数？那些既是正比例函数？

①y=-8x ② y= 3x-2 ③ y=-0.5x-1 ④ y=2x2+1

3、例题学习

汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）

变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。Y是x的一次函数吗？

学生先独立在练习本上做，之后找一名学生板演，其他补充。

解：y=50-5x （0≤x≤10）,y是x的一次函数。

（三）拓展深化巩固应用

1、已知变量y=（m+1）x+(m2-1)，当m= ，y是x的一次函数；当m= ，y是x的正比例函数。

2、一个小球由静止开始在一个斜坡向上滚动，其速率每秒提高2米/秒。

（1）求小球速度v随时间t变化的函数关系式。

（2）求第2.5秒时小球的速度。

3、某公司至某果园购买水果，该果园对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案，

方案一：每公斤9元，有果园送货上门；

方案二：每千克8元，但用户自己要付5000元运费。请分别写出该公司两种购买方案的付款总额y(元)与购买

数量x（㎏）之间的方程关系式，并写出自变量的取值范围。

（四）课堂总结回顾

由学生归纳本节学习内容，

1、一次函数的含义或者与正比例函数的关系；

2、识别一个函数能否为一次函数的关键是精确掌握定义一次函数教案格式，并且有时还需将所帮式子进行变形；会按照已知信息写

出一次方程关系式，并能写出自变量的取值范围。

（五）作业

六、教学反思：

本节通过营造问题情境，让学员帮小明解决乘车中遭遇的函数问题，可以促使学生的学习兴趣，增强进一步学习欲望，然后切实研究新知。在探讨新知‘一次函数意义’的过程中，本课习题与实际生活有联系。体现了“人人学有价值的数学”的观念。本课的成功之处在于借助横纵联系产生概念；拓展练习更精彩。拓展训练中，学生的基础不同会有差别。但借助沟通、交流，每个老师都有所收获。体现了“人人都可获取必需的数学，不同的人在数学上受到不同的演进。”的观念。