2019届中考复习数学分类汇编：45 三角函数与圆(2)

（3））要求EF，可以找到它所在的三角形，通过相似求线段长，由△AFD∽△BAD得DFBD＝AD2.由△AED∽△OAD得ODDE＝AD2从而△EDF∽△BDO∴，得EF＝解(1)连接OC在△OAD和△OCD中OA＝OC，AD＝CD，OD＝OD∴△OAD≌△OCD∴∠ODA＝∠ODC又AD＝CD∴DE⊥AC(三线合一)∵AB是⊙O直径∴∠ACB＝90°∴OD//BC(2由)tan∠ABC＝2可设BC＝a，则AC＝2a，AB＝a＝AD，AE＝a，OE＝a，OA＝a在△AED中，DE＝＝2a，∴OD＝a∴在△AOD中，AO2＋AD2＝＝OD2∴∠OAD＝90°∴DA与⊙O相切(3)连接AF∵∠DAF＋∠BAF＝90°∠ABF＋∠BAF＝90°∴∠ABF＝∠DAF∴△AFD∽△BAD∴即DFBD＝AD2.①又∠AED＝∠OAD＝90°∠ADE＝∠ODA∴△AED∽△OAD∴即ODDE＝AD2②由①②得DFBD＝ODDE即，又∠EDF＝∠BDO∴△EDF∽△BDO∵BC＝1，∴AB＝AD＝，OD＝，ED＝2，BD＝，OB＝∴，∴EF＝12．(2018·荆门，23，10分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M，N，连接MB，BC．(1)求证：AC平分∠DAE；(2)若cosM＝，BE＝1，①求⊙O的半径；②求FN的长．MNFBDCOEAH第23题图MNFBDCOEAH图8MNFBDCOEAH第23题图MNFBDCOEAH图8思路分析：(1)连接OC，利用切线的性质等知识证明；(2)①在Rt△OCE中利用余弦列方程求出半径；②先求出CE，AF，再证明△AFN∽△CBE，从而利用相似三角形的对应边成比例求解．(1)证明：如图8，连接OC．∵DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE．∵AD⊥DE，∴AD∥OC．∴∠DAC＝∠OCA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠DAC＝∠OAC．即AC平分∠DAE．(2)①解：由(1)可知∠COE＝∠DAE．∵∠M＝∠DAE，∴∠COE＝∠M．设⊙O的半径为r在Rt△COE中，cos∠COE＝，∴＝．解得r＝4．②连接FB．在Rt△OCE中，CE＝＝＝3．在Rt△AFB中，AF＝AB·cos∠FAB＝8×＝．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BF．∵FM⊥AB，∴∠AFH＝∠ABE．∵∠ABE＝∠E，∴∠AFH＝∠E．∵∠ACB＝∠OCE＝90°，∴∠BCE＝∠OCA＝∠∠OAC＝∠FAN．∴△AFN∽△CBE．∴＝，即＝．∴FN＝．12．（2018·怀化市，23，12分） 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB与点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径.思路分析：（1）本小题为开放性问题，答案不限，只要能证出四边形ABCD为平行四边形即可.但是在证明时应注意证明的方向，是由所给的条件证明四边形ABCD为平行四边形，而不是相反；（2）按照基本作图要求画图即可，注意保留作图痕迹；（3）利用图中的边角关系探究得出∠ABE与∠AGF的数量关系，这样就能把看似分散的条件集中到直角三角形ABE中，从而解决问题.注意后两问没有第（1）问平行四边形的条件，不可误用.解答过程：解：（1）答案不限，比如添加条件：AD=DE，证明如下：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠EAB，∵AD=DE，∴∠DAE=∠AED，∠EAB=∠AED，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）如图，直线MN和⊙O，即为所求；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线，∴∠DAE=∠BAE=∠DAB，∠ABE=∠ABC，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=90°，∴∠DAE+∠AGF=90°，∴∠ABE=∠AGF，∵sin∠AGF=，∴sin∠ABE ==，∵AE=4，∴AB=5，∴⊙O的半径为2.5.13．(2018·永州市，24，10分)如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．(1)求证：CF=BF；(2)若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．思路分析：(1) 连接AC，根据等角对等边证明∠BCD=∠CBE．①根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余证明∠CAB=∠BCD；②根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠BEC，从而∠BEC=∠BCD；③根据等弧所对的圆周角相等可得∠BEC=∠CBE，于是有∠BCD=∠CBE，问题得到证明．(2)连接OC，交BE于点G，利用勾股定理的逆定理证明∠OCM=90°，①在Rt△OGB中，根据cos∠OBG =求出BG的长，②在△OBC中，根据S△OBC=OC·BG=OB·CD，求得CD的长，③在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD的长，从而可得DM的长；④在Rt△CDM中，根据勾股定理求得CM的长；⑤在△OCM中，根据勾股定理的逆定理证明∠OCM=90°，于是可得结论．解答过程：(1)连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠ABC=90°，∴∠CAB=∠BCD，又∠CAB=∠BEC，∴∠BEC=∠BCD．∵=，∴∠BEC=∠CBE，∴∠BCD=∠CBE，∴CF=BF；(2)连接OC，交BE于点G，∵=，∴BE⊥OC，∴∠OGB=90°，在Rt△OGB中，cos∠OBG =，∴BG=OB·cos∠OBG =6×=．在△OBC中，S△OBC=OC·BG=OB·CD，∵OC=OB，∴CD=BG=．在Rt△OCD中，OD===，∴DM=OM-OD=OB+BM-OD=6+4-=，在Rt△CDM中，CM===8．∴OC2+CM2= 62+82=100，OM2=(6+4)2=100，∴OC2+CM2= OM2，∴△OCM是直角三角形，∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．