2019届中考复习数学分类汇编：45 三角函数与圆

一、选择题二、填空题1.如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G，若 =, 则 =答案：，解析：∵ =,设EF=，AE=，∴AF=，连结AD、OD、BC，设OD与AC交于点H，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠ABD=90°-∠DAE，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠DAE，∴∠ADE=∠ABD，∵D是弧AC的中点，∴∠CAD=∠ABD，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠FHD=90°，∴∠FHD=∠AEF=90°，又∵∠DFH=∠AFE，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF=，DH=AE=，∴AH=AF+FH=+=，∴，∴，∵∠DAH=∠DBC，∴，在Rt△BCG中，=.三、解答题1.（2018·绵阳，23，11分） 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．思路分析：（1）已知EB和ED都是⊙O的切线，则EB＝ED，要证BE＝CE，只需证明CE＝DE即可．连接BD，利用AB是直径，得到∠CDB＝90°，在Rt△CDB中利用角的转化可以得到∠EDC＝∠ECD．（2）过点O作OG⊥AD，将∠ACO置于直角Rt△COG中；若DE‖AB，则四边形DEBO为正方形，设出正方形的边长，将OC和OG用边长表示，即可求出sin∠ACO的值．解答过程：（1）证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴∠CDE＋∠BDE＝90°，∠DBC＋∠DCE＝90°，∵EB和ED都是⊙O的切线，∴ED＝EB，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠CDE＝∠DCE， ∴EC＝ED， ∴BE＝CE．（2）连接OD，过点O作OG⊥AD，垂足为G．∵EB和ED都是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵DE‖AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DEBO为矩形，∵OB＝OD，∴四边形ODEB为正方形．设正方形的边长为a，则OA＝OB＝OD＝BE＝a，BC＝2a，∴OC＝a， OG＝AD＝a．在Rt△COG中，sin∠ACO＝．2.（2018·金华市，21，8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连结AD.已知∠CAD=∠B.（1）求证：AD是⊙O的切线.（2）若BC=8，tanB=,求⊙O的半径.第21题图EOABDC第21题图EOABDC思路分析：（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．解答过程：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠3=∠B，∵∠B=∠1，∴∠1=∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，∴∠4=180°-（∠2+∠3）=180°-90°=90°，∴OD⊥AD.则AD为O的切线.（2）设O的半径为r，在Rt△ABC中，AC===4，∴AB===，∴OA=﹣r，在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，∴CD===2，∴AD2=AC2+CD2=42+22=20，在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（-r）2=r2+20，解得：r=．3．(2018·广安，25，9分)如图12，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连结BE，若cos∠P＝，CP＝10，求BE的长．图12OPGFBDCEA图12OPGFBDCEA思路分析：(1)利用切线的性质、“直径所对的圆周角是直角”等进行证明；(2)①利用余弦的定义求OP；②利用勾股定理求⊙O的半径；③在Rt△ABE中，再次利用余弦的定义和勾股定理依次求AE和BE的长(也可利用△ABE∽△POC求BE)．证明：(1)∵PC与⊙O相切点C，∴∠PCA＋∠OCA＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠OCB＋∠OCA＝90°．∴∠PCA＝∠OCB．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC．∴∠PCA＝∠ABC．解：(2)∵cos∠P＝＝，CP＝10，∴OP＝．∴OC＝＝．∴AB＝15．∵AE∥PC，∴∠BAE＝∠P．∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°．∴AE＝AB·cos∠BAE＝15×＝12．∴BE＝＝9．4. （2018·成都，20，10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设AB=x，AF=y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE=8，sinB=，求DG的长.5（2018·无锡市，24，8）如图，四边形ABCD内接于圆心O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cos B=，求AD的长．第24题图思路分析：延长AD、BC交于点E．先利用余角的性质证明∠B=∠EDC，然后在Rt△ECD中借助余弦函数求ED的长；最后在Rt△EAB中借助余弦函数与勾股定理求出BE、EA的长，从而求得AD的长．解答过程：解：延长AD、BC交于点E．⊙O中，∵∠A=90°，∠A+∠DCB=180°，∴∠DCB=90°，∴∠DCE=180°-∠DCB=90°，∴∠E+∠EDC=90°，又∠E+∠B=90°，∴∠B=∠EDC．在Rt△ECD中，cosB=cos∠EDC ==，∴ED=CD=，在Rt△EAB中，∵cosB==，∴BE=， EA===，∴DA=EA-ED=-=6.第24题答图思路分析：(1)连接OD，根据角平分线的定义、圆的半径相等可证的∠ODA=∠CAD，可证得∠ODC=90°；(2)连接DF，先证得∠FDC=∠DAC，再证得∠ADB=∠AFD，进而证得△ABD∽△ADF，利用相似的性质，可求得AD的长；(3)连接EF，由三角函数、圆周角定理以及平行线的性质，可求得OD，AE，AB的长，再证得△AGF∽△DGO，进而求得DG的长.解：(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD.∴∠OAD=∠CAD.∵∠C=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°.∴∠ODA+∠ADC=90°.即OD⊥BC.∴BC是⊙O的切线.(2)连接DF.∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD.∴∠ODF=(180°－∠DOF)=90°－∠DOF.∴∠FDC=90°－∠ODF=∠DOF.∵∠DAF=∠DOF，∴∠FDC=∠DAF.∴∠FDC=∠ODA.∵∠ADB=90°+∠ODA，∠AFD=∠90°+∠FDC，∴∠ADB=∠AFD.∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF.∴.∴AD2=AB•AF=xy.∴AD=.(3)连接EF.再Rt△BOD中，sinB= =.设圆的半径为r，∴，解得r=5.经检验，r=5是所列分式方程的解.∴AE=10，AB=18.∵AE是直径，∴∠AFE=90°.∵∠C=90°，∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B.∴sin∠AEF=∠B=，∴AF=AE•sin∠AEF=10×=.∵∠ODA=∠FAD，∠OGD=∠FGA，∴△AGF∽△DGO，∴=，∴DG=AD.∵AD===，∴DG=×=.6．(宜宾市2018)(本小题10分) (注意：在试题卷上作答无效)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD,CE⊥AD于点E.（1）求证：直线EC为圆O的切线;（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.思路分析：（1）只需证OC⊥CE，即得OC是⊙O的切线．利用BC=CD，BO=AO可得OC是△ABD的中位线，由平行线性质，易证CE⊥OC，从而获得结论；（2）根据圆周角性质，易得∠CAF=∠CBF，代换得到∠CAF=∠PCF，易证得PCF∽△PAC，，再通过证明Rt△PAE∽Rt△PEF，获得PE，PF，PA间的数量关系，据此可求解PE的长，在Rt△PEF中，利用三角函数定义即可得解．解：（1）∵BC=CD，BO=AO，∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴直线EC为圆O的切线；（2）如图，连接AC，∴∠CAF=∠CBF，∵∠PCF=∠CBF，∴∠CAF=∠PCF，又∵∠APC=∠CPF，∴△PCF∽△PAC，∴，即；∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠PFE=90°，∵CE⊥AD，∴∠PEA=90°，∴∠PEA=∠PFE，又∵∠EPA=∠FPE，∴△PEF∽△PAF，∴，即，∴PE=PC=5；在Rt△PEF中，PE=5,PF=4, ∴sin∠PEF的值为.7.如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且.（1）求证：；（2）当，时，求的长.【思路分析】（1）连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，由DE=EF，可得BE为∠ABC平分线，根据等腰三角形易得 OE∥BC，从而易得结论；（2）在Rt△ABC中，根据，求出AB的值；设半径为r，利用在Rt △AOE中，，建立关于r的方程，求出r，再根据AF=AB-2r即可求解.【解题过程】（1）证明：连接OE,BE． ∵ DE=EF，∴ =, ∴ ∠OBE=∠DBE.∵ OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE,∴ ∠OEB =∠DBE, ∴ OE∥BC.∵ ⊙O与边AC相切于点E， ∴ OE⊥AC． ∴ BC⊥AC, ∴ ∠C=90°.ACBDEOFACBDEOF（2）解：在△ABC中，∠C=90°，BC=3 ，， ∴ AB=5．设⊙O的半径为r，则AO=5-r，在Rt △AOE中，, ∴ ．∴．8．（2018·温州市，22题号，10分）如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，连结 AD，作△ABD 的外接圆，将△ADC沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在 BD 上．（1）求证：AE＝AB．（2）若∠CAB＝90°，cos∠ADB=, BE＝2，求 BC 的长．思路分析：（1）由题可知△ADE≌△ADC，则对应角，对应边相等，∠AED=∠ACD，AE=AC；证明AE＝AB就转化成证明AC=AB；又因为同一圆内，同弦对应的圆心角相等，所以∠ABD=∠AED，则∠ABD=∠ACD，则AB=AC，即AE=AB.（2）过点A作AH⊥BE于点H，由第一题可知△AEB为等腰三角形，则BH=EH=1，∠ABE=∠AEB；等弦对等角，∠AEB=∠ADB；又因为cos∠ADB=，则cos∠ABE=cos∠ADB=，，所以AC=AB=3，根据勾股定理，BC=.解答过程：解：（1）由题意得△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB.（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴，∴AC=AB=3，∵∠BAC=900，AC=AB，∴BC=.9．（2018·温州市，24题号，14分） 如图，已知 P 为锐角∠MAN 内部一点，过点 P 作 PB⊥AM 于点 B，PC⊥AN 于点 C，以 PB 为直径作⊙O，交直线 CP 于点 D，连结 AP，BD，AP 交⊙O 于点 E．求证：∠BPD＝∠BAC．连结 EB，ED，当 tan∠MAN＝2，AB＝ 时，在点 P 的整个运动过程中．①若∠BDE＝45°，求 PD 的长．②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的 BD 的长．连结 OC，EC，OC 交 AP 于点 F，当 tan∠MAN＝1，OC//BE 时，记△OFP 的面积为 S1 ，△CFE 的面积为 S2 ，请写出 的值．思路分析：由于PB⊥AM，PC⊥AN，所以∠ABP=∠ACP=900，，则∠BAC+∠BPC=1800，，又因为∠BPD+∠BPC=1800，所以∠BPD=∠BAC①等弦对等角，因为∠BDE＝45°，所以∠APB=45°，则BP=AB=；由（1）知∠BPD=∠BAC，且tan∠MAN＝2，所以tan∠BPD=tan∠BAC，所以=2，BP=PD，所以PD=2.②Ⅰ当BD=BE，所以∠BED=∠BDE，等弦对等角，∠BPD=∠BPE=∠BAC，所以tan∠BPE=2，因为AB=，所以BP=，BD=2.Ⅱ当BE=DE，所以∠EBD=∠EDB，等弦对等角，所以∠APB=∠BDE；∠DBE=∠APC ，则∠APB=∠APC ，AC=AB=; 过点B作BG⊥AC于点G, 得矩形BGCD,又因为tan∠BAC=2，所以AG=2，BD=CG=-2Ⅲ当BE=DE，可得∠DEB=∠DBE=∠APC，又因为∠DEB=∠DPB=∠BAC，所以∠APC=∠BAC，设PD=x ,则BD=2x ,所以=2,所以=2,解得x=,则BD=CG=2x=3（3）过点O作OH⊥DC于点H，因为tan∠BPD=tan∠MAN=1， BD=DP.令BD=DP=2a，PC=2b，则OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b,由OC∥BE得，∠OCH=∠PAC，所以，变形可得OH.AC=CH.PC， 所以a(4a+2b)=2b(a+2b), 则a=b,CF=，OF=，所以=.解答过程：（1）∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠ABP=∠ACP=900，∴∠BAC+∠BPC=1800，∵∠BPD+∠BPC=1800，∴∠BPD=∠BAC.(2)①如图1，∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°， BP=AB=，∵ ∠BPD=∠BAC，∴tan∠BPD=tan∠BAC，∴=2，∴BP=PD，∴PD=2.②Ⅰ如图2，当BD=BE时，∠BED=∠BDE，∴∠BPD=∠BPE=∠BAC， tan∠BPE=2，∵AB= ，∴BP=，∴BD=2Ⅱ 如图3，,当BE=DE时，∠EBD=∠EDB，∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，∴∠APB=∠APC，∴AC=AB= ，过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，∵AB=，tan∠BAC=2，∴AG=2，∴BD=CG=-2Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC，∵∠DEB=∠DPB=∠BAC，∴∠APC=∠BAC，设PD=x ,则BD=2x ,∴=2,∴=2,∴x=,∴BD=CG=2x=3综上所述 ，当BD为2,3或-2时，△BDE为等腰三角形.=.提示：如图5，过点O作OH⊥DC于点H，∵tan∠BPD=tan∠MAN=1， BD=DP.令BD=DP=2a，PC=2b，得OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b,由OC∥BE得，∠OCH=∠PAC，∴，∴OH.AC=CH.PC， ∴a(4a+2b)=2b(a+2b), ∴a=b,∴CF=，OF=,∴=10. （2018·内江市，26，12分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：；（3）若tanC=,DE=,求AD的长.思路分析：（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．解答过程：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵OE∥AC，OA=OB，∴BE=CE，∴DE=BE=CE，∴∠DBE=∠BDE，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴，∴BC2=CD•AC，由（1）知DE=BE=CE=BC，∴4DE2=CD•AC，由（1）知，OE是△ABC是中位线，∴AC=2OE，∴4DE2=CD•2OE，∴2DE2=CD•OE；（3）∵DE=，∴BC=5，在Rt△BCD中，tanC==，设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴BD=4，CD=3，由（2）知，BC2=CD•AC，∴AC==，∴AD=AC﹣CD=﹣3=．11（2018·广东，24，9分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD//BC；（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．思路分析：（1）要证OD//BC，假如选择AC为截线，由AB是⊙O直径得∠ACB＝90°所以要证DE⊥AC，由边边边定理可证△OAD≌△OCD，由三线合一可得DE⊥AC；（2））要证DA与⊙O相切，就要证∠OAD＝90°，可由勾股定理逆定理去证，所以在△AOD中，要证AO2＋AD2＝OD2 ，可通过条件tan∠ABC＝2和设参数BC＝a，由勾股定理求出AO，AD，OD即可。