积分中值定理及其应用（最终版）（备份存档）

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1、ITSAPPLICATIONAbstract:Themaincontentofthisaerarethemeanvaluetheoremanditsalication,itwillbemainlydividedintothefollowingresects:integralmeanvaluetheorem,thegeneralationofintegralmeanvaluetheorem,theasymtoticroertyofthe“intermediateoint”ofintegralmedianoint,thealicationofintegralmeanvaluetheoremKeywords:integralmeanvalue；theoremromotion；aly论文评阅人意见论文（设计）题目积分中值定理及其应用作者评阅人评阅人职称副教授意见该论文以积分中值定理及其应用的证明为主要内容，介绍了积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性文题相符，结构是否严谨，逻辑严密，语言流畅，表达准确，层次分明，格式完全符合规范要求，参考了丰富的文献资料该论文达到了学士学位论。

2、致趋于零，即对于任意给定的正数，有A，当xA时，对一切[,]ycd成立(,)gxy，那么积分(,)(,)afxygxydx关于y在[,]cd上是一致收敛的证明：由所假设的条件可推知对任何,AAa，有(,)(,)(,)AAAAaafxydxfxydxfxydx(,)(,)AAaafxydxfxydxK而由(,)gxy和上式可推知，当,AAa时()(,)(,)(,)(,)AyAAfxygxydxgAyfxydx()(,)(,)AygAyfxydxKKK，因此，(,)(,)afxygxydx关于y在[,]cd上是一致收敛的，命题得证参考文献：[]陈纪修、於崇华、金路数学分析（第二版上册）北京:高等教育出版社，[]陈纪修、於崇华、金路数学分析（第二版下册）北京:高等教育出版社，[]陈传璋、金福林等编数学分析（下册）北京：高等教育出版社，[]陈传璋、金福林等编数学分析（上册）北京：高等教育出版社，，[]同济大学应用数学系高等数学（第五版上册）北京：高等教育出版社，THEMEANVALUETHEOREMAND。

式（9）与（8）可合并写为：由式（6）知有：， （2）悬臂梁的运动微分方程为：（1）其中：（2）令：（3）代入运动微分方程，有：（4）上式两边乘，并沿梁长度对x进行积分，有：（5）利用正交性条件，可得：（6）其中广义力为：（7）初始条件可写为：（8）上式乘以，并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得：（9）由式（6），可得：（10）利用式（3），梁的响应为：alyf txdxx1x2xc。解：（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：可写为：代入梁的动力学方程，有：设与、对应有、，有：（1）（2）式（1）两边乘以并沿梁长对积分，有：（3）利用分部积分，上式左边可写为：（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：将上式代入（3）中，有：（5）式（2）乘并沿梁长对积分，同样可得到：（6）由式 5 、 6 得：（7）如果时，，则有： 当 （8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。代入式(9)得考虑到式(2)，式(10)可改写为对式(11)两边乘以ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得当简谐激励时，式(12)的稳态响应解为全响应解为当阶跃激励时，式(12)的解为类似地，梁的弯曲振动微分方程令，代入式(13)，经过一系列处理，得---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------解题步骤1 自由振动分析①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数。

4、()()()limlimlim()ananxaxagtdtffaaaxa由洛比达法则，则有()lim()aagtdtga，因此可得()()()lim,()!nnxafagaaaxnxa（）比较（）式与（）式可以得到lim,(,)nxaaxabxan定理：假设函数()fx在[,]ab上连续，()fa存在并且有()fa，()[,]gxab在上有m阶导数，有()()()()()mgagagaga，()()mga成立，并且()()mgx在a点连续，()gx不变号，则第一积分中值定理中的点满足lim,(,)xaamxabxam证明：对任意的(,)xab，构造辅助函数()Hx如下()()()()()()xxaamftgtdtfagtdtHxxa一方面，当xa时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim()lim()()mxaxafxg。

5、，则上式除以A有(,,)SmfxyzdxdyMA，由于(,,)fxyz在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(,,)，使(,,)(,,)SffxyzdxdyA，两边同时乘以A有(,,)(,,)SfxyzdxdyAf，[]同理，若SdxdyA，则上式除以A有(,,)SMfxyzdxdymA，由于(,,)fxyz在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(,,)，使(,,)(,,)SffxyzdxdyA，两边同时乘以A有(,,)(,,)SAffxyzdxdy由以上证明过程可得(,,)(,,)SfxyzdxdyfA，从而结论成立四、第一积分中值定理中值点的渐进性定理：假设函数()fx在[,]ab上n阶可导，其中()fx在a点的直到n阶右导数为，而n不为，即()()()()nfafafa，()()nfa，并且有()()nfx在a点连续；函数()gx在[,]ab可积且不变号，并且对于充分小的()ab，()gx在[,]aa上连续。积分中值定理证明

[ 或 r12 τ f1 f f2 f ] 定义 : 令 f 1 t 和 f 2 t 为功率信号, 且它们的互相关函数为 r12 τ , 称为 r 12 τ 的傅利叶变换为 f 1 t 和 f 2 t 的互功率谱密度 , 以 p12 ω 表示之 , 即 r 12 τ p12 ω 或 r12 τ p12 f 2 .9 .13 ∞ - j ωτ p12 ω ∫ r12 τ e d τ - ∞2 . 10 卷 积 1. 卷积的定义 ∞ 令有函数 f 1 t 和 f 2 t , 称积分∫ f 1 α f 2 t - α d α为 f 1 t 和 f 2 t 的卷积 , 通 - ∞常以 f 1 t * f 2 t 表示 , 即 ∞ f 1 t * f 2 t ∫ f 1 α f 2 t - α d α 2 .10 .1 - ∞式中 α为积分变量 , 由于定积分值与积分变量符号无关, 所 以式 2 . 10 . 1 中的积分变量可用任何符号表示 , 例如 τ, β, λ等。（二十） 含参变量积分以及反常积分 1、含参变量积分：积分与极限交换次序。积分设置：积分充值比例、最小充值数量、积分代替名、积分量词、设置积分消费规则（发布职位消耗积分数，修改职位消耗积分数，刷新职位消耗积分数，下载简历消耗积分数，邀请面试消耗积分数，开通电子地图消耗积分数，新注册会员赠送积分数等.......）。

如左图u函数曲线连续， 但在x方向的导数不连续， 设想在一个很小的范围内用一个连续函数来替换该不连续函数（简称“修正” )， 研究其导数曲线， 可以看出， 一阶导数有不连续点， 但可积， 而二阶导数趋于无穷大， 因此其积分是有限的， 不能用简单方法进行数值积分,这种性质的函数称为c0连续 yyxu为一个连续函数 一阶导数不连续点， 但一阶导可积。连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.。积分关卡获得100积分15活跃度，当然你钻石多的话消耗任意钻石可得15活跃度。

8、，即xxedx的符号为正号、比较积分大小例比较积分sinx和sinx的大小解：当(,)x时，sinx，从而有sinsinxx，于是我们有sinsinxx，即sinx小于等于sinx、证明函数的单调性例设函数()fx在(,)上连续，其中()()()xFxxtftdt，试证：在(,)内，若()fx为非减函数，则()Fx必为非增函数证明：利用分歩积分法，将()Fx化为()()()()()xxxFxxtftdtxftdttftdt对上式求导，可以得到：()()()()()()xxFxftdtxfxxfxftdtxfx由积分中值定理，可得：()()()(()()),()Fxxfxfxxffxx若()fx为非减函数，则有()()ffx成立，因此可以得到()Fx，故()Fx为非增函数，命题得证、证明定理例证明（阿贝尔判别法）如果()fx在[,)a上可积，()gx单调有界，那么()()afxgxdx收敛证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]AA上（其中,AAa。

9、类曲面积分可得(,,)SSSmdfxyzdMd，其中Sd为曲面的面积，且SdA，因为A，两边同除以A有(,,)SmfxyzdMA，由于(,,)fxyz在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(,,)，使(,,)(,,)SffxyzdA，成立，两边同时乘以A可得(,,)(,,)SfxyzdfA，命题得证、第二曲面积分中值定理定理（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xySzxyxyD，其中xyD是有界闭区域，函数(,,)fxyz在S上连续，由此在曲面S上至少存在一点(,,)，使(,,)(,,)SfxyzdxdyfA成立，其中A是S的投影xyD的面积证明：因为函数(,,)fxyz在曲面S上连续，所以存在,mMR使得(,,)mfxyzM，对上式在曲面S上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSmdxdyfxyzdxdyMdxdy，其中Sdxdy为(,,)fxyz投影在曲面xyD上的面积，并且我们记SdxdyA[]若SdxdyA。

图灵先假设存在一个程序p能够判断出来任意一个程序x会在输入数据y的情况下是否会停机,然后图灵假设将所有程序的输出结果列成一个表,最后用对角线的方法构造出来了一个新的序列,声称这个序列不在所列的表中,并做一新程度q作用在这个新序列上,所以图灵下结论说:程序p不能判断这个新程序是否会在输入数据y的情况下停机还是不停机。leibniz定理：wallis公式：高斯积分：斯特林公式：欧拉公式：π的连分数表示：两个任意自然数是互质的概率是 。定理14.1(红黑树的扩张) : 设\(f\) 是n个结点的红黑树\(t\) 扩张的属性, 且假设对任意结点\(x\) , \(f\) 的值仅依赖于结点\(x\) , \(x.left\) 和 \(x.right\) 的信息, 还可能包括\(x.left.f\) 和\(x.right.f\) . 那么, 我们可以在插入和删除期间对\(t\) 的所有结点的\(f\) 值进行维护, 并且不影响和两个操作的o(lgn)渐近时间性能.。

11、xgxdx收敛证明：因为()()gxx，所以对任意的，存在A，当,AAA时，()gA，()gA又因()AafxdxK，所以()()()AAaafxdxfxdxfxdxK，同样我们有()AfxdxK由第二积分中值定理，只要,AAA，就有()()()()()()AAfxgxdxgAfxdxgAfxdxK所以积分()()afxgxdx收敛，命题得证备注：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()fx在xa有奇点，()bafxdx是的有界函数，()gx单调且当xa时趋于零，那么积分()()bafxgxdx收敛证明：对()()aafxgxdx应用第二积分中值定理，证明过程略备注：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)Aafxydx对于Aa和[,]ycd是一致有界的，即存在正数K，使对上述,Ay成立(,)AafxydxK又因为(,)gxy关于x是单调的，并且当x时，(,)gxy关于[,]cd上的y一 。

12、，则上式除以A有(,,)SmfxyzdxdyMA，由于(,,)fxyz在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(,,)，使(,,)(,,)SffxyzdxdyA，两边同时乘以A有(,,)(,,)SfxyzdxdyAf，[]同理，若SdxdyA，则上式除以A有(,,)SMfxyzdxdymA，由于(,,)fxyz在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(,,)，使(,,)(,,)SffxyzdxdyA，两边同时乘以A有(,,)(,,)SAffxyzdxdy由以上证明过程可得(,,)(,,)SfxyzdxdyfA，从而结论成立四、第一积分中值定理中值点的渐进性定理：假设函数()fx在[,]ab上n阶可导，其中()fx在a点的直到n阶右导数为，而n不为，即()()()()nfafafa，()()nfa，并且有()()nfx在a点连续；函数()gx在[,]ab可积且不变号，并且对于充分小的()ab，()gx在[,]aa上连续