2018考研数学：解读高数积分中值定理证明

啃数学定理考研数学中包含很多概念和定理，他们是搞定考研数学的关键之所在，唯有认真吃透了概念和定理，才能快速准确地应用于做题。leibniz定理：wallis公式：高斯积分：斯特林公式：欧拉公式：π的连分数表示：两个任意自然数是互质的概率是 。你学习的目的应该是：将抽象的理论再应用于实践，不但要掌握题目的解题方法，更要掌握解题思想，对于定理的学习：不是简单的应用，而是掌握证明过程即掌握定理的由来，训练自己的推理能力。

将此被积函数写为[f(x)+f(-x)]x^3 +x^4,其中[f(x)+f(-x)]x^3为奇函数,在对称区间[-1,1]上积分为零,x^4是偶函数,在对称区间[-1,1]上的积分等于在区间[0,1]上积分的二倍,x^4的原函数为x^5/5,用牛顿莱布尼兹公式可知,此积分值为2/5。[ 或 r12 τ f1 f f2 f ] 定义 : 令 f 1 t 和 f 2 t 为功率信号, 且它们的互相关函数为 r12 τ , 称为 r 12 τ 的傅利叶变换为 f 1 t 和 f 2 t 的互功率谱密度 , 以 p12 ω 表示之 , 即 r 12 τ p12 ω 或 r12 τ p12 f 2 .9 .13 ∞ - j ωτ p12 ω ∫ r12 τ e d τ - ∞2 . 10 卷 积 1. 卷积的定义 ∞ 令有函数 f 1 t 和 f 2 t , 称积分∫ f 1 α f 2 t - α d α为 f 1 t 和 f 2 t 的卷积 , 通 - ∞常以 f 1 t * f 2 t 表示 , 即 ∞ f 1 t * f 2 t ∫ f 1 α f 2 t - α d α 2 .10 .1 - ∞式中 α为积分变量 , 由于定积分值与积分变量符号无关, 所 以式 2 . 10 . 1 中的积分变量可用任何符号表示 , 例如 τ, β, λ等。“任何数除以0即为没有意义.”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”,当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份,求每份有多少.一个整体无法分成0份,即“没有意义”.后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数）,应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）.从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量,叫做无穷小”.。

若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自明了。

解：（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：可写为：代入梁的动力学方程，有：设与、对应有、，有：（1）（2）式（1）两边乘以并沿梁长对积分，有：（3）利用分部积分，上式左边可写为：（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：将上式代入（3）中，有：（5）式（2）乘并沿梁长对积分，同样可得到：（6）由式 5 、 6 得：（7）如果时，，则有： 当 （8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。海沟的剖面形状像是一个英文字母"v"字，但两边不对称，靠大洋的一侧比较平缓，靠大陆的一侧比较陡峭。将此被积函数写为[f(x)+f(-x)]x^3 +x^4,其中[f(x)+f(-x)]x^3为奇函数,在对称区间[-1,1]上积分为零,x^4是偶函数,在对称区间[-1,1]上的积分等于在区间[0,1]上积分的二倍,x^4的原函数为x^5/5,用牛顿莱布尼兹公式可知,此积分值为2/5。

接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。积分中值定理证明该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理(或估值定理)。积分中值定理证明