（2013年四川绵阳12分）如图，二次函数y=ax2+bx+(2)

③交点式：

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：

二次函数

∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),

∴y=ax2+bx+c

=a(x2+b/ax+c/a)

=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]

=a(x-x1)(x-x2).

重要概念：

a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；

a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题。

二次函数的其他表达形式：

①牛顿插值公式:

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式

y=a(x-x1)*(x-x2)

若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是 和 ，这两点的距离为 。(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：当。

③三点式

已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）

则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)

与X轴交点的情况

当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

二次函数解释式的求法：

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

点拨：

解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，

∵过点（2，8），

∴8＝a(2+2)(2-1)。

解得a=2，

∴抛物线的解析式为：

y＝2(x+2)(x-1)，

即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

点拨：

在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2.巧用顶点式：

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。

例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。

点拨：

解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。

把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。

∴a=3。

∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

②典型例题二：

如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；

如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。

告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。

例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

点拨：

析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为(，0)与y轴交点坐标为(0，b)．。

∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。

故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。

将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。

③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。

例如：

018．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点和点，则a=________，b=______． 19．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．0．如图，一次函数y=kx+b的图象经过a、b两点，与x轴交于点c，则此一次函数的解析式为__________，△aoc的面积为_________． 三、认真解答，一定要细心哟。若点在这个函数图象上，求a的值．14．如图，直线y=－2x+4分别与x轴、y轴相交于点a和点b，如果线段cd两端点在坐标轴上滑动，且cd=ab．当△cod和△aob全等时，求c、d两点的坐标。kx16、如图，直线l1与l2相交于点p，l1的函数表达式y=2x+3,点p的横坐标为-1,且l2交y轴于点a．求直线l2的函数表达式.17、已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点、点。

（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.。 x y 函数名称 函数图象 的形状 函数 图象 的 位置 过（0，0),（1 ，k）的一条直线 y随x的增大而减小 函数解析式 函数名称 函数 图象 的 位置 y随x的增大而减小 x 由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可. 两点 作图法 用两点法画出下列函数的图象 （1）y= x （2）y=-3x y -4 -2 -3 -1 3 2 1 -1 0 -2 -3 1 2 3 4 5 x y=-3x y -4 -2 -3 -1 3 2 1 -1 0 -2 4 1 2 3 4 -5 x y= x 2 3 3 0 y 2 0 x -3 0 y 1 0 x y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 减小 下降 第二、四象限 k＜0 增大 上升 第三、一象限 k＞0 y随x的增大而 从左向右 经过的象限 y=kx 当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. 一般地，正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大。kx16、如图，直线l1与l2相交于点p，l1的函数表达式y=2x+3,点p的横坐标为-1,且l2交y轴于点a．求直线l2的函数表达式.17、已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点、点。

（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.

（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。

例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。

点拨：

解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。

∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，

∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。