动力系统的周期解与分支理论 专注微分方程研究　推动基础数学发展

——记华侨大学夏永辉教授

编者按：人类的智慧，主要体现在数学上。数学是一门庞大的科学体系，包含各种各样的专题和主题，大多与实际的很多问题有相关性，而且研究的大多是基础问题。透过数学，我们可以发现自然界中的很多规律。同时很多规律也会由数学表达出来。因此数学其实也是一种通用的语言，可以让我们用极其简洁的方式来表达自然中的规律。基础数学则是科学大厦的基础，其研究成果将对以后的科技进步产生巨大作用。

华侨大学夏永辉教授长期从事常微分方程和动力系统的研究工作，其研究兴趣包括微分方程的线性化理论、微分方程的周期解和稳定性、概周期微分方程、四元数值微分方程等。在该学科方向的重要SCI期刊J。 Differential Equations、SIAM J。 Appl。 Math。、Proc。 Edinburgh Math。 Soc。等发表论文50余篇。

一、高维系统的可积问题

推广了著名数学家庞加莱和李雅普诺夫关于二维平面系统可积的充要条件的经典理论，将此可积理论推广到了任意有限维。关于解析的微分系统的经典理论可以追溯到著名数学家庞加莱和李雅普诺夫的经典成果。

一个实平面解析微分系统

并且y是x的共轭复数。庞加莱还证明了在实平面解析微分系统中存在一个解析函数或正规级数Φ（u，v）使得

然而要把庞加莱和李雅普诺夫平面系统的可积结果推广到高维系统有很大的难度，因为随着维数的增加，首次积分的计算难度大大增加。夏永辉教授及其合作者Romanovski和张祥教授一起推广庞加莱和李雅普诺夫关于二维平面系统可积的充要条件的经典理论，将此可积理论推广到了任意有限维。作为应用，研究了四维哈密顿系统的可积问题，完整地讨论了所有可能的可积系统分类，并得到这些系统存在3个独立首次积分（包括哈密顿量）的充要条件。

夏永辉教授指出，如果 χ 是系统的一个向量场，那么下列结论成立：

（a）存在序列 ψ（x） 使得

（b）如果向量场 χ 含有 n-1 个无关的解析的首次积分，那么对于任意的满足 （a） 中等式的 ψ，可以得到对于所有的 ， Pα=0 都成立；

（c）假设 的秩是 k，并且有 k 个无关的函数 ψ（1） ，…，ψ（k），那么对于所有的 ， i=1，2，…， k，（a） 中等式的相关系数都满足 。特别地，当 k=n-1 时，结论 （b） 和 （c） 就为一个系统存在线性无关的解析或正规的首次积分提供了判定方法。

二、微分方程的线性化理论

美国数学家哈德曼和格罗布曼在20世纪60年代初各自独立证明了常微分方程拓扑线性化的经典结果，后人为纪念他们的贡献，称之为哈德曼-格罗布曼定理。在映射方面，经典的哈德曼-格罗布曼定理表明Rn空间上的C1同胚在双曲不动点附近能够被C0线性化。后来，著名数学家Pugh将上述结果推广到了Bananch空间上。Cr线性化最早可追溯到1950年代Sternberg的文章。在他们的研究基础上，夏永辉教授通过十余年的研究，取得了推动该领域发展的重要成果。

（1）研究了测度链上微分方程的线性化，采用新的方法改进了德国数学家Hilger关于测度链上Hartman-Grobman的线性化结果，解决了Hilger未能解决的拓扑等价函数的周期性问题，并且证明了周期系统的拓扑等价函数也是周期的。

（3）指出并修正了Palmer JMAA1973和Potzsche JDE2008中关于拓扑等价的概念的不足，并探讨了新定义下的非自治Hartman-Grobman线性化定理，并且将该定理推广到时标情况。

三、四元数值微分方程

虽然四元数值微分方程在飞行力学、流体力学、量子力学、微分几何和刚体、多刚体动力学等学科中具有非常广泛的应用，但是目前为止，绝大部分的工作是物理学家利用四元数值微分方程来刻画在飞行力学、流体力学及量子力学中产生的动力学，然而物理学家并没有对四元数值微分方程的解等数学性质做深刻的研究。所以，要想真正了解四元数值微分方程的动力学性质，就必须从数学上严格解决解的结构甚至精确解。因此，夏永辉教授较为系统地建立了线性四元数值微分方程组的基本框架，证明了四元数微分方程的刘维尔公式，同时指出了四元数值微分方程与常微分方程的几个较大的差异性。