自然数的集合定义 1＋1＝2：我们为什么信赖算术？ 【文化散论】(2)

1910年，数学家阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德与哲学家伯特兰·罗素共同发表了一部题为《数学原理》的三卷本巨著。该书篇幅浩大、立论深奥，很可能是试图重铸算术，将之归为集合理论的一个分支。人们自然不会把这部书拿给一个八岁大的孩子看，以此向他解释1＋1＝2的缘由。在第一卷洋洋362页之后，怀特海德和罗素终于得到了一个命题，他们说：“当算术加法得到了定义，随之便可以得出1＋1＝2的结论。”注意，他们其实还没有解释什么是加法。直到第二卷，他们才有空考虑这一问题。定理“1＋1＝2”真正出现在第二卷的86页。他们以幽默的笔触在那里轻描淡写地写道：“上述命题偶尔会有用处。”

上图为约前2000年—前1600年的一块写有楔形文字手稿的陶土书板叙述了一个代数—几何问题。

本书不拟在此嘲笑怀特海德和罗素，因为在与集合论中出人意料的困难做斗争的人们中，他们属于两位先驱者。例如，罗素发现，对集合的某些操作是不允许的，其中包括不可能定义一个“所有集合的集合”，因为这一概念会导致自相矛盾。这是在数学中从来都不允许的事情：某一陈述永远不会同时正确又同时错误。

但这却导致了另外一个问题。罗素和怀特海德小心地避免了“所有集合的集合”可以导致的自相矛盾，但我们能不能完全肯定，他们的公理就不会把我们引向其他尚未发现的自相矛盾呢？1931年，这一问题的答案以令人惊讶的方式出现。当时奥地利逻辑学家库尔特•哥德尔发表了一篇题为《试论〈数学原理〉中的形式上不可判定的陈述及相关系统》的论文，直指怀特海德和罗素著作之非。哥德尔证明，永远无法证明任何足以推导算术规则的集合论规则是自洽的。换言之，总有可能在某一天，某人将就 1＋1＝3提出一项完全有理有据的证明。不仅如此，这项可能性永远都会存在；只要我们把我们的算术建立在集合论的基础上，就永远无法绝对保证我们使用的算术是自洽的。

其实，数学家们并没有因为算术有自相矛盾的可能性而寝食难安。一个可能的原因是，大部分数学家强烈地感觉到，数字，以及我们研究的大量其他数学创造物，都代表了超越了人类思维的客观现实。自然数的集合定义如果是这样，出现能够证明1＋1既等于2又等于3这类矛盾陈述的可能性就微乎其微。逻辑学家们将之称为“柏拉图主义者”的观点。

“典型的数学家在工作日里是柏拉图主义者，而在星期天是形式主义者。”菲利普·戴维斯和鲁本·赫斯在他们1981年出版的《数学经验》一书中这样写道。换言之，当我们必须做出正式陈述时，我们将不得不承认，我们无法断言数学中不存在矛盾；但我们不会因此而中断我们的数学工作。

应该补充的一点可能是，那些不是数学家的科学家在一周的每一天中都是柏拉图主义者。他们从来没有一刻怀疑过1＋1会不等于2。而且他们这样做或许自有道理。对算术自洽性的最佳辩护是：人类使用算术凡5000年，但我们还从来没有发现过任何矛盾之处。对算术的客观性与普适性的最佳辩护是这一事实：与任何其他语言、宗教或信仰系统相比，在穿越文化与时间界限方面算术最为成功。的确，搜寻地外生命的科学家经常假定，我们能够解码的第一份来自地外世界的信息将以数学形式发送，因为数学是最为广泛接受的宇宙通用语言。

我们知道1＋1＝2，这是因为我们可以通过普遍接受的集合论原理证明这一点，或者因为我们是柏拉图主义者。但我们不知道我们知道这一点，因为我们无法证明集合论是自洽的。这或许就是当那个八岁孩子问我们“为什么”的时候我们所能给出的最好答案。

《无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事》，[美]达纳·麦肯齐著，李永学译，北京联合出版公司2018年1月。