排队论_排队论模型的应用_排队论模型(2)

（1）定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定的，如产品通过传送带进入包装箱就是定长分布的例子。

（2）最简流（或称poisson流）（M）：顾客相继到达时间间隔{Xn}为独立的，同负指数分布，其密度函数为

??e??t

a(t)??

?0

t?0

（10.1） t?0

2、排队及排队规则 （1）排队

排队分为有限排队和无限排队两类，有限排队是指排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能进入系统；无限排队是指系统中顾客数可以是无限的，队列可以排到无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务，这类系统又称为等待制排队系统。对有限排队系统，可进一步分为两种：

（a）损失制排队系统，这种系统是指排队空间为零的系统，实际上是不允许排队。当顾客到达系统时，如果所有服务台均被占用，则自动离去，并不再回来，称这部分顾客被损失掉了。例如某些电话系统即可看作损失排队系统。

（b）混合制排队系统，该系统是等待制和损失制系统的结合，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：

（a）队长有限，即系统的等待空间是有限的。排队论例如最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数（又称为队长）小于K，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开系统，并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。

（b）等待时间有限，即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。

（c）逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限，例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。

不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失制；当K=∞时，即成为等待制。

（2）排队规则，当顾客到达时，若所有服务台都被占用且又允许排队，则该顾客将进入队列等待。服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：

（a）先来先服务（FCFS），即按顾客到达的先后对顾客进行服务，这是最普遍的情形。 （b）后来先服务（LCFS），在许多库存系统中会出现这种情形，如钢板存入仓库后，需要时总是从最上面的取出；又如在情报系统中，后来到达的信息往往更加重要，应首先加以分析和利用。排队论

（c）具有优先权的服务（PS），服务台根据顾客的优先权进行服务，优先权高的先接受服务。如病危的患者应优先治疗，加急的电报电话应优先处理等。

3、服务机制

排队系统的服务机制主要包括服务员的数量及其连接式（串联或并联）；顾客是单个还是成批接受服务；服务时间的分别。在这些因素中，服务时间的分别更为重要一些，故进一步说明如下。记某服务台的服务时间为V，且分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则常见的分布有：

（1）定长分布（D）：每个顾客接受服务的时间是一个确定的常数。 （2）负指数分布（M）：每个顾客接受服务的时间相互独立，具有相同的负指数分布：

??e??t b(t)??

?0

t?0

（10.2） t?0

其中μ>0，为一常数。

（3）k阶爱尔朗分布（Ek）：每个顾客接受服务的时间服从k阶爱尔朗分布，其密度函数为：

k?(k?t)k?1?k?t

（10.3） b(t)?e

(k?1)!

爱尔朗分布比负指数分布具有更多的适应性。当k=1时，爱尔朗分布即为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的，事实上，当k≥30以后，爱尔朗分布近似于正态分布。当k→∞时，由方差为

1k?

2

可知，方差将趋于零，即为完全非随机的。所以，k阶爱

尔朗分布可看成完全随机（k=1）与完全非随机之间的分布，能更广泛地适应于现实世界。

三、排队系统的符合表示