常用极坐标方程_极坐标系极坐标方程_极坐标方程公式大全(2)

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度,使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式,基本都是由使用场合而定.航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量,而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算,所以物理方面更倾向使用弧度.[8]

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

x = r \cos \theta \,

y = r \sin \theta \,

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

r = \sqrt{x^2 + y^2} \,

\theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,

[9]在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 为负, 则 θ = 270° (3π/2 radians).

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常表示为r为自变量θ的函数.

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果r(��θ) = r(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果r(π��θ) = r(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果r(θ��α) = r(θ),则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°.[9]

方程为r(θ) = 1的圆.

方程为r(θ) = 1的圆.

在极坐标系中,圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为

r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2

该方程可简化为不同的方法,以符合不同的特定情况,比如方程

r(\theta)=a \,

表示一个以极点为中心半径为a的圆.[10]

经过极点的射线由如下方程表示

\theta = \varphi \,

其中φ为射线的倾斜角度,若 m为直角坐标系的射线的斜率,则有φ = arctan m. 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直.[11] 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直,其方程为

r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,.

一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线.

一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线.

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线,看上去像花瓣,它只能用极坐标方程来描述,方程如下：

r(\theta) = a \cos k\theta \, OR

r(\theta) = a \sin k\theta \,

如果k是整数,当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣,当k是偶数时曲线将是2k个花瓣.如果k为非整数,将产生圆盘(disc)状图形,且花瓣数也为非整数.注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2,6,10……）个花瓣.变量a代表玫瑰线花瓣的长度.

方程 r(θ) = θ for 0

方程 r(θ) = θ for 0

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:

r(\theta) = a+b\theta \,.

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量.阿基米德螺线有两条螺线,一条θ > 0,另一条θ

Ellipse, showing semi-latus rectum

Ellipse, showing semi-latus rectum

圆锥曲线方程如下：

r = {l\over (1 + e \cos \theta)}

其中l表示半径,e表示离心率. 如果e

1,则表示双曲线.

由于坐标系统是基于圆环的,所以许多有关曲线的方程,极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多.比如lemniscates, en:lima��ons, and en:cardioids.

应用

开普勒第二定律

开普勒第二定律

另见：开普勒行星运动定律

极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法.开普勒第一定律,认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆,这个椭圆的一个焦点在质心上.上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆. 开普勒第二定律,即等域定律,认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的,即d\mathbf{A}\over dt是常量.这些等式可由牛顿运动定律推得.在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导.