常用极坐标方程_极坐标系极坐标方程_极坐标方程公式大全

极坐标系是一个二维坐标系统.该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示.极坐标系的应用领域十分广泛,包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域.在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时,极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中,这样的关系就只能使用三角函数来表示.对于很多类型的曲线,极坐标方程是最简单的表达形式,甚至对于某些曲线来说,只有极坐标方程能够表示.

历史

主条目：三角函数的历史

众所周知,希腊人最早使用了角度和弧度的概念.天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格.并且,曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置.在螺线方面,阿基米德描述了他的著名的螺线,一个半径随角度变化的方程.希腊人作出了贡献,尽管最终并没有建立整个坐标系统.

关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统,流传着有多种观点.关于这一问题的较详尽历史,哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述.格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里,被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念.圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年,而卡瓦列里在1635进行了发表,而后又于1653年进行了更正.卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题.布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度.

在1671年写成,1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中,艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点.牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系.在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线,定点称为极点,射线称为极轴.平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示.伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究.

实际上应用“极坐标”en:Polar coordinate system这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳开始的,并且被18世纪的意大利数学家所使用.该术语是由乔治·皮科克在1816年翻译拉克鲁瓦克斯的《微分学与积分学》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一书时,被翻译为英语的.

阿勒克西斯·谢罗特和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家.

在极坐标系中表示点

点(3,60°) 和 点(4,210°)

点(3,60°) 和 点(4,210°)

正如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标)和θ（角坐标、极角或方位角,有时也表示为φ或t）.r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向.[6]

比如,极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点.(��3,240°) 和(3,60°)表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° �� 180° = 60°).

极坐标系中一个重要的特性是,平面直角坐标中的任意一点,可以在极坐标系中有无限种表达形式.通常来说,点(r, θ)可以任意表示为(r, θ ± n×360°)或(��r, θ ± (2n + 1)180°),这里n是任意整数.[7] 如果某一点的r坐标为0,那么无论θ取何值,该点的位置都落在了极点上.