高中数学必修四教案：1.6三角函数建模的简单应用(1)

1。6 三角函数建模的简洁应用 一、导入新课 三角方程建模的简单应用（一） 思路 1。(问题导入 )既然大到地球天体的运动 ,小到质点的运动或者现实世界中带有周期 性差异的现象无处不在 ,那么到底如何用三角函数解决这种具备周期性变化的弊端？它究竟 能发挥这些作用呢？由此展开新课 。 思路 2。我们将要学习了三角函数的概念、图象与性质 ,特别研究了三角函数的周期性 。在 现实生活中 ,如果某些差异着的现象具有周期性 ,那么能否可以通过三角函数来表述呢？回忆 必修 1 第三章第二节“函数建模以及应用” ,面临一个实际问题 ,应当怎样选取正确的变量模 型来塑造它呢？以下通过几个具体实例 ,来探究这些三角函数建模的简洁应用 。 二、推进新课、新知探究、提出疑问 ①回忆以前所学 ,指数函数、对数函数以及幂函数的建模都是常用来表述现实世界中的 哪些规律的 ? ②数学模型是哪个 ,建立物理建模的方式是何种 ? ③上述的数学建模是如何构建的 ? ④怎样处理搜集到的数据 ? 活动 :师生互动 ,唤起回忆 ,充分复习前面学习过的构建物理建模的方式与过程 。对课前未 经做好复习的教师予以赞扬 ,并引导人们类比以往所学知识技巧 ,继续研究新的数学模型 。

对 还没有进入状况的学员 ,教师应帮助回忆并迅速引发相应的常识方法 。在学生的鼓励下 ,学生 能够很好地回忆起解决实际问题的基本过程是 :收集数据→画散点图→选择函数模型→求解 函数模型→检验→用方程建模解释实际问题 。 这点很重要 ,学生即使有了这个思维基础 ,本节的简单应用便能迎刃而解 。 新课标下的教 学要求 ,不是教师给师生解决难题或带领学员解决疑问 ,而是教师推动师生进而登高 ,在合作 探究中自己解决难题 ,探求新知 。 讨论结果 :①描述现实世界中不同增长规律的变量建模 。 ②简单地说 ,数学建模就是把实际问题用英语语言写实概括 ,再从数学角度来体现或近似 地反映实际问题时 ,所得出的关于实际问题的数学表述 。数学建模的方式 ,是把实际问题加以 抽象概括 ,建立相应的物理建模 ,利用这种模型来探究实际问题的通常物理方式 。 ③解决难题的通常程序是 : 1°审题 :逐字逐句的阅读题意 ,审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模 :分析题目变化趋势 ,选择适当函数建模； 3°求解 :对所制定的数学建模进行预测研究得到物理推论； 4°还原 :把数学结论还原为实际问题的解答 。

④画出散点图 ,分析它的差异趋势 ,确定适合的变量建模 。 三、应用实例 例 1 如图 , 某地一天从 6— 14 时的浓度差异曲线近似满足方程 y=sin( ω x+ φ )+b。 (1)求这一天的最大温差 ; (2)写出这段曲线的方程解析式 。 活动 :这道考题是 2002 年全国卷的一道高考题 ,探究时校长与教师一起讨论 。本例是研究 温度随时间呈周期性变化的问题 。教师能鼓励学员思考 ,本例给出模型了吗？给出的建模函数 是哪个？要解决的难题是哪个？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决 。 题目给出了某个时间段的频率差异曲线这个建模 。其中第 (1)小题实际上就是求方程图象 的解析式 ,然后再求函数的更值差 。教师要鼓励学员观察思考 :“求这一天的最大温差” 实际指 的是“求 6 是至 14 时这段时间的最大温差” ,可按照上面所学的三角函数图像直接写出而不 必再求解析式 。 让学生感受不同的变量建模在缓解具体疑问时的不同作用 。第 (2) 小题只要用 待定系数法求出解析式中的未知参数 ,即可确认其解析式 。其中求 ω 是利用半周期 (14-6), 通过 建立方程得解 。

解 :(1) 由图可知 ,这段时间的最大温差是 20 ℃ 。 (2)从图中可以看出 ,从 6— 14 时的图像是变量 y=Asin( ω x+φ )+b 的半个周期的图象 , ∴ A= 1 (30-10)=10,b= 1 (30+10)=20。 2 2 ∵ 1 · 2 =14-6, 2 ∴ ω = ? 。将 x=6,y=10 代入上式 ,解得 φ = 3 。 8 4 综上 ,所求解析式为 y=10sin( ? 3 x+ )+20,x ∈ [6,14]。 84 例 2 函数 y=|sinx|的一个单调增区间是 ( ) A。( , ) 44 3 B。( , ) 44 3 C。( π , ) 2 3 D。( ,2 2 π) 答案 :C 例 3 如图 2,设地球表面某地正午太阳高度角为 θ对数函数教案下载,δ 为此刻太阳直射纬度对数函数教案下载,φ为该地的纬度值 , 那么这三个量之间的关系是 θ=90 ° -|φ -δ |。当地夏半年 δ 取正值 ,冬半年 δ 取负值 。 如果在北京地区 (纬度数约为经度 40° )的一幢高为 h0的房子北面盖一新楼 ,要让新楼一 层正午的太阳全年不被中间的房子遮挡 ,两楼的距离不应小于多少 ? 活动 : 如图 2 本例所用地理常识、 物理知识较好 ,综合性比较强 ,需调动相关学科的常识 来帮助理解问题 ,这是本节的一个难点 。

在讨论时应使学生充分熟悉实际背景 ,理解各个量的 含义或者他们之间的数量关系 。 首先由题意要了解太阳高度角的定义 :设地球表面某地纬度值为 φ ,正午太阳高度角为 θ , 此时太阳直射纬度为 δ ,那么这三个量之间的关系是 θ =90° -|φ -δ |。当地夏半年 δ 取正值 ,冬 半年 δ 取负值 。 根据物理知识 ,能够被太阳直射至的地区为东、北回归线之间的地带 易知 ,图形如图 3,由画图 太阳高度角 θ 、楼高 h0 与这时楼房在地板的投影长 h 之间有如下关系 : h0=htanθ 。 由物理知识知 ,在北京地区 ,太阳直射北回归线时物体的影子最短 ,直射南回归线时物体 的影子最长 。因此 ,为了让新楼一层正午的太阳全年不被遮挡