【期中复习】幂函数、指数函数·对数及其运算法则·教案

【期中复习】幂函数、指数函数·对数及其运算法则·教案

幂函数、指数函数和对数函数对数及其算法课程计划

如果a(a>0,a≠1)的b次方等于N，即ab=N，则数b称为N以a为底的对数，记为

对数 = b,

其中a称为底数，N称为真数，公式logaN称为对数公式。

练习 1 以对数形式写出以下指数表达式：

练习 2 以指数形式写出以下对数：

练习3 求下列方程的值：

由于 22=4，4 的以 2 为底的对数等于 2。

由于 53=125，以 5 为底的 125 的对数等于 3。

师：根据定义，我们还要注意对数公式logaN=b中字母的取值范围是多少？

健康：a>0且a≠1；b∈R; N∈R。

老师：N∈R？（这是学生最容易出错的地方，同学们要记住，一开始真数大于零。）

生：由于在实数范围内，任何正数的幂都是正数，所以ab=N中的N总是正数。

师：需要强调的是，零和负数没有对数。

师：为什么定义规定a>0，a≠1？

健康：因为如果a<0，那么当N取一些值时，b可能不存在，比如b=log(-2)8不存在；如果a=0，则当N不为0时，b不存在，例如log02不存在；当N为0时，b可以是任意正数，不唯一，即log00有无限个值；如果a=1，当N不为1时，b不存在，如log13不存在，当N为1时，b可以是任意数且不唯一，即log11有无限多个值。因此，我们规定：a>0，a≠1。

师：（板书）以a=10为底时的对数logaN（a>0且a≠1）称为常用对数，简称lgN；当底数a=e时，称为自然对数，记作lnN对数函数教案下载，其中e为无理数，即e≈2.718 28……。

练习 4 计算以下对数：

lg10000、lg0.01、2log24、3log327、10lg105、5log51125。

师：请学生说出结果，发现规律，大胆猜测。

健康：2log24=4。这是因为 log24=2，而 22=4。

健康：3log327=27。这是因为 log327=3，而 33=27。

健康：10lg105=105。

学生：我猜 alogaN=N，所以 5log51125=1125。

alogaN=N (a>0, a≠1, N>0)。（用红笔在字母的取值范围下画一条曲线）

证明：设指数方程ab=N对数函数教案下载，则对应的对数方程为logaN=b，所以ab=alogaN=N。

师：你是根据什么证明对数恒等式的？

生：按对数定义。

师：（分析小结）证明的关键是设指数方程ab=N。因为要证明这个对数恒等式，现在我们对对数的了解

意识只有一个定义，所以用定义来证明是显而易见的。对数的定义是建立在指数的基础上的，所以必须先建立指数方程，然后转化为对数方程，再进行证明。

师：在掌握了对数恒等式的推导之后，要特别注意这个方程的适用条件。

健康：a>0，a≠1，N>0。

老师：（板书）2log28=？2log42=?

健康：2log28=8；2log42=2。

师：第2题对吗？怎么了？

师：（继续问）使用对数恒等式要注意什么？

健康：当幂的底和对数的底相同时，可以使用公式

alogaN=N。

师：负数和零之间有对数吗？并解释原因。

健康：负数和零没有对数。因为定义规定a>0，所以无论b的个数是多少，都有ab>0，也就是说无论b的个数是多少，N=ab总是一个正数。因此，从方程 b=logaN 可以看出，负数和零没有对数。

老师：（板书）性质一：负数和零不是对数。

师：1的对数是多少？

生：因为a0=1（a>0，a≠1），根据对数定义为零可以得到1的对数。

师：（板书）1的对数为零。

老师; 底的对数是多少？

生：由于a1=a，根据对数的定义，底的对数等于1。

师：（板书）底的对数等于1。

生：同底数乘幂，底数不变，指数相加，即am·an=am+n。同底次幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n。(am) n = amn；

师：接下来我们用指数算法来证明对数算法。（板书）

(1) 正因数的乘积的对数等于同基数的因数的对数之和。这是

loga(MN)=logaM+logaN。

（请两名学生阅读规则（1），并让学生有时间讨论证明。）

师：（分析）我们想证明这个算法，但是单眼皮做不到。这时候，我们应该认为我们只学习了对数的定义和性质。显然，性质不能证明这个公式，所以只能用定义来证明。对数是由指数定义的，显然需要用指数算法来证明。因此，我们必须首先将对数方程转换为指数方程。

师：（板书）设logaM=p，logaN=q，根据对数的定义，可以写成M=ap，N=aq。所以

M·N=ap·aq=ap+q,

所以loga(M·N)=p+q=logaM+logaN。

即 loga(MN)=logaM+logaN。

师：适用这条规则的条件是什么？

健康：每个对数都是有意义的，即M>0，N>0；a>0 且 a≠1。

师：观察规则（1）的结构特征并背诵。

生：等号左端为乘积的对数，右端为对数之和。从左到右，是降级操作。

老师：很好。比如（黑板上）log2(32×64)=?

健康：log2(32×64)=log232+log264=5+6=11。

师：通过这个例子，学生应该意识到这个规则的重要作用——降级。它简化了计算。

老师：（板书）log62+log63=？

健康：log62+log63=log6(2×3)=1。

师：对。我们可以从这个例子中学到什么？

盛：这是用从右到左的规律。是升级操作。

老师：是的。对于算法（公式），我们不仅要从左到右使用，还要从右到左使用。真正了解法律的作用！

师：（板书） （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。

师：按照研究规则（1）的四个步骤，自己研究。

（给学生三分钟讨论时间。）

学生：（板书）设logaM=p，logaN=q。根据对数的定义，可以写成M=ap，N=aq。所以

老师：很好。他用指数算法和对数定义证明了这一点。再想想，在证明规则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有规则（1）的结论。那么，我们还有其他的证明方法吗？

学生：（在黑板上）

老师：很漂亮。他利用变换和分解的思想，借助刚刚证明的定律（1）来证明定律（2）。他的证明比书上简单。由此可见，转化总结的思想在化难为易、化繁为简中发挥了重要作用。事实上，这种思想不仅经常用于学习新的概念和公式，而且更广泛地用于解决问题。

师：规则（2）的适用条件是什么？

健康：M>0，N>0；a>0 且 a≠1。

师：观察规则（2）的结构特征并背诵。

生：等号的左端是商的对数，右端是对数的差。从左到右是降级操作，从右到左是提升操作。

老师：（板书）lg20-lg2=？

师：可以看出，规则（2）的作用仍然是加快计算速度，简化计算方法。

示例 1 计算：

学生：（在黑板上）

解开

(1)log93+log927=log93×27=log981=2；

(3) log2(4+4)=log24+log24=4；

（学生判断对错，并解释原因。）

学生：问题（2）错了！对数算法只能在基数相同的情况下使用。（板书）

学生：问题（3）错了！规则（1）的内容是：

学生：问题（4）错了！规则（2）的内容是：

健康：首先，规则（1）和（2）只有在基数相同的情况下才能从右到左应用；其次，只有当正因子的乘积或两个正数的商的对数时，才可以从左边应用算法（1），（2）到右边。

师：（板书） （3）正数的幂的对数等于幂的底的对数乘以幂的指数。这是

loga(N)n=n·logaN。

师：（分析）证明loga(N)n=n·logaN，只要证明

Nn=an·logaN=(a·logaN)n,

只需证明 N = alogaN。

从对数恒等式来看，这显然是正确的。

师：（板书）令N>0，根据对数恒等式，有

N=allogaN。

所以Nn=(alogaN) n=an·logaN。

根据对数的定义，我们有

loga(N)n=n·logaN。

师：规则（3）的适用条件是什么？

健康：a>0，a≠1；N>0。

生：从左到右依然是降级操作。

师：比如（板书）log332=log525=5log52。运动计算（log232） 3.

错误解决方案：(log232)3=log2(25)3=log2215=15。

正确解：(log232)3=(log225)3=(5log22)3=53=125。

师：（板书） （4）正数的正根的对数等于平方根的对数除以根指数。这是

师：第四条的适用条件是什么？

健康：a>0，a≠1；N>0。

师：规则（3）和规则（4）可以一起背。即 logaNα=αlogaN (α∈R)。（教师在黑板上写字） 例 2 用 logax、logay、logaz 表示下列方程：

解开

（注意不要在（3）的第二步中去掉括号。）

示例 3 计算：

解开

(1) log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19。

三高考中的数列问题第六章数列C返回导航(组图)

主题3 数字系列 高考中的问题 第6章 数字列C 返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字列返回导航 高考 通则复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字列C 回航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字列返回导航 高考 考试总考 第一轮 数学（理科） 北第六章 数字柱返回导航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科）

北章 6 数字柱返回导航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科） 北章 第六章 数字列A 返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字柱返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 第六章 数字柱回航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北 第6章 数字列返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字列回航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字柱回航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字列回航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字列返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北 章 第六章 数字柱回航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北 章 第六章 数字列回航 高考 总复习 第一轮 数学（科学） 北第六章 数字列回航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 第六章 数字回传 导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北 第六章 数字回航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字栏返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 第六章 数字列回航 高考 第一轮 数学（理科） 北章 第六章 数字栏返回导航 学院 入学考试通则复习 第一轮 数学（理科） 北第六章 数字列返回导航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科） 北第六章 数字回航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北章 数字柱回航 高考 一般复习 第一轮 数学（理科） 北章 第六章 数字列回航 高考 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北 第六章 数字柱返回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科） 北第六章 数字柱回导航 高考 总复习 第一轮 数学（理科）高一数学教案下载高一数学教案下载