第四章 角动量守恒定律 基本要求： 1. 明确力矩的物理(2)

可见角动量是矢量, 它的方向垂直于由矢量 r 和 mv 所决定的平面, 其指向由右手定则确定： 让右手的四指由矢量 r 的方向经小于的角转到矢量 mv 的方向, 拇指所指的方向就是角动量 l 的方向。 如果位置矢量 r 与动量 mv 之间的夹角为, 那么角动量的大小由下式给出(4-6) 2、 物理含义 质点对通过参考点 o 的任意轴线 oz 的角动量 lz, 就是质点相对于同一参考点的角动量 l 沿该轴线的分量。 由图 4-3 可以看出, lz可表示为(4-7) 式中是矢量 l 与轴线 oz 正方向的夹角。 当≤/2 时, ≥0； 当≥/2 时, ≤0。 如果质点始终在 o-xy 平面上运动, 那么质点对 oz 轴的角动量与对参考点 o 的角动量大小是相等的, 并可以表示为 . (4-8) 式中仍是质点的位置矢量 r 与其动量 mv 之间的夹角, 显然这时它也必定处于 o-xy 平面内， 不过应该注意, 在这种情况下我们规定： 面对 z 轴观察, 由 r 方向沿逆时针转向 mv 的方向所形成的角才是角。 二、 角动量定理 1、 定义 质点在合力 f的作用下, 某瞬间的动量为 mv, 质点相对于参考点 o 的位置矢量为 r, 显然此时质点相对于参考点 o 的角动量为 l = r  mv . 根据牛顿第二定律, 应有 , 用位置矢量 r 同时叉乘上式等号两边， 得(4-9) 为了对上式作进一步讨论, 先让我们看下面的推演 , 因为 所以 将这一结果代入式(4-9), 得 即(4-10) 2、 角动量定理 作用于质点的合力对某参考点的力矩， 等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。

这个结论称为质点角动量定理。 3、 对坐标轴的投影 若把矢量方程式(4-10)投影到 oz 轴上, 则可得到(4-11) 这表示, 质点对某轴的角动量随时间的变化率， 等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。 这称为质点对轴的角动量定理。 如果质点始终在 o-xy 平面上运动, 可把式(4-8)代入式(4-11), 就得到下面的关系(4-12) 三、 质点角动量守恒定律 1、 守恒条件 根据式(4-10), 如果作用于质点的合力对参考点的力矩等于零, 即 m = 0, 那么 即 l= 恒矢量(4-13) 这表示, 若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。这就是质点角动量守恒定律。 2、 力矩等于零的几种情形 如果作用于质点的合力矩不为零, 而合力矩沿 oz 轴的分量为零,那么由式(4-11)可以得到 恒量 (当 mz = 0 时 )(4-14) 这表示, 当质点所受对 oz 轴的力矩为零时, 质点对该轴的角动量保持不变。 此结论也可以称为质点对轴的角动量守恒定律。 例题： 4/不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮， 轻绳的一端吊着托盘(见图 4-8)， 托盘上竖直放着一个用细线缠缚而压缩的小弹簧， 轻绳的另一端系一重物与托盘和小弹簧相平衡， 因而整个系统是静止的。

设托盘和小弹簧的质量分别为 M 和 m， 被细线缠缚的小弹簧在细线断开时在桌面上竖直上升的最大高度为 h。 现处于托盘上的小弹簧由于缠缚的细线突然被烧断， 能够上升的最大高度是多大？ 解 根据题意， 重物的质量为 M + m， 以托盘、 弹簧、 重物和滑轮为质点系。 以滑轮中心为参考点， 系统所受合外力矩为零， 故角动量守恒， 即 , 式中 v 是缠缚的细线断开时弹簧向上弹的初速度，V为托盘获得的向下的初速度，这两个速度均相对于地面； r 是滑轮的半径。 由上式解得托盘由于弹簧弹起而获得的速度为 . 缠缚的细线断开时弹簧所获得的弹力势能为 mgh， 它全部转变为系统的动能， 就是弹簧托盘和重物的动能之和， 即 . 由以上两式可解得 , 所以弹簧弹起的最大高度为 . *§4-3 质点系角动量守恒定律 质点系的角动量、 角动量定理和角动量守恒定律是在质点的角动量、 角动量定理和角动量守恒定律的基础上建立起来的。 设质点系中包括了 n 个质点, 它们的质量分别为 m1、 m2、 …、 mn , 速度分别为 v1、 v2、 …、 vn , 相对于参考点 o 的位置矢量分别为 r1、 r2、 …、 rn， 所受相对于参考点 o 的力矩分别为 m1、 m2、 …、 mn。