课堂讲授过程中的瞬间灵感，非逻揖性发挥(2)

教师在画出上述图像的学生中选取生1，将他的屏幕内容通过课堂平台放到其它朋友的屏幕上，很快有学生做出反应。

生2：这是y=x3的反函数y=的图象。

师：对，但是如何会受到这个图象，请你们讨论。

(学生展开讨论，但找不出理由。)

师：我们请生1再帮你们演示一下，大家给他找找原因。

(生1将他的制作过程重新重复了一次。)

生3：问题出在他选取的次序不对。

师：哪个次序?

生3：作点B前，选择xA和xA3为B的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作起来的点的坐标为(xA3，xA)，而不是(xA，xA3)。

师：是这种吗?我们请生1再做一次。

(这次生1在做的过程当中，按xA、xA3的顺序选择，果然得到函数y=x3的图象。)

师：看来问题确实是出在这个地方，那么请老师再想想，为什么他采取了错误的次序后，恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?

(学生继续遭遇思考，一会儿有学生举手。)

师：我们请生4来告诉你们。

生4：因为他这样做，正好是将y=x3上的点B(x，y)的横坐标x与纵坐标y交换，而y=x3的反函数也刚好是将x与y交换。

师：完全恰当。下面我们进一步研究y=x3的图像及其反函数y=的图像的关系，同学们能不能看出这两个函数的图像有什么样的关系?

(多数学生回答能由y=x3的图象得到y=的图象，于是教师进一步追问。)

师：怎么由y=x3的图象得到y=的图象?

生5：将y=x3的图像上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y=的图象。

师：将横坐标与纵坐标互换?怎么换?

(学生一时未能知道教师的意思，场面一下子冷了出来，教师不得不将难题进一步明确。)

师：我虽然是想问你们这两个函数的图像有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系?

(学生重新开始观察这两个函数的图像，一会儿有学生举手。)

生6：我看到这两个图象应是关于某条直线对称。

师：能看看是关于那条直线对称吗?

生6：我还没找回来。

(接下来高一数学教案下载，教师引导学生运用几何画板找出两变量图象的对称轴，画出如下图形，如图2所示：)

学生通过移动点A(点B、C逐渐移动)后看到，BC的中点M在同一条直线上，这条线段就是两变量图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y=x。

生7：y=x3的图像及其反函数y=的图像关于直线y=x对称。

师：这个结论有一般性吗?其他变量以及反函数的图像，也有这样对称关系吗?请同学们用其它函数来试一试。

(学生纷纷画出其它变量与其反函数的图像进行验证，最后大家一致得出结论：函数以及反函数的图像关于直线y=x对称。)

教师巡视全班时终于看到这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了疑问所在：图中方程y=x2(x∈R)没有反函数，②也不是函数的图象。

最后校长与学生一起总结：

点(x，y)与点(y，x)关于直线y=x对称;

函数及其反函数的图像关于直线y=x对称。

二、反思与点评

1.在开学初，我就教学几何画板4。0的用法，在教函数图像画法的过程当中，发现学生按照指定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板4。04中，能直接依据函数解析式画出图像，但这种显然不能揭示图象对称的本质，所以本节课课堂中，我有意选择了几何画板4。0进行教学。

2.荷兰物理教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程当中，可借助于生动直观的形象来引导他们的观念过程，但仍然由于图形或想象的错误，使他们的认知误入歧途，因此我们又应通过直观，但既需要在必定条件下脱离直观而产生具象概念，要切记过于直观的事例经常会妨碍学生正确理解非常抽象的概念。

计算机成为一种现代信息技术工具，在直观化方面有更强的体现能力，如在变量的图像、图形变换等方面，利用计算机都能受到其它直观工具不可能有的效果;如果仅仅为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概念，促进学生认知的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。

在本节课的课堂中，计算机更多的是成为学生探索发现的工具，学生不但看到了函数与其反变量图象间的对称关系，而且在很深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也是了最深刻的理解。

当前计算机用于学校化学的主要方式而是以辅助为主，更多的是把计算机成为一种直观工具，有时甚至仅仅成为电子黑板使用，今后的演进方向应是：将计算机成为学生的思维工具，让学生借助计算机发现探索，甚至运用计算机来做物理，在此过程当中更好地理解数学概念，促进物理思维，发展化学创新素养。

3.在引出两个函数图像对称关系的之后，问题设计不甚妥当，本来是想要学生提问两个函数图像对称的关系，但学生误以为是问怎么由y=x3的图象得到y=的图象，以致将学生引入歧途。这样的难题在未来的教学中是需要力求避免的。

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一、教学目标:

1.通过高速公路上的实际例证，引起积极的探讨跟交流，从而认识到生活中处处可以见到变量间的依赖关系.能够运用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系.

2.培养广泛联想的素养和热爱数学的心态.

二、教学重点：

在于使学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系

教学难点：培养广泛联想的素养和热爱数学的心态

三、教学方法：

探究交流法

四、教学过程

(一)、知识探索：

阅读课文P25页。实例预测：书上在高速公路情境下的问题。

在高速公路情景下，你可看到这些函数关系?

2.对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗?

问题小结：

1.生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足针对一个变量的每一个值，另一个变量都有确认的值与之对应，才称他们之间有函数关系。

2.构成数组关系的两个变量，必须是针对自变量的每一个值，因变量都有确认的y值与之对应。

3.确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因函数，如果一个变量随着另一个变量的差异而变迁，那么这个变量是因函数，另一个变量是自变量。

(二)、新课探究——函数概念

1.初中关于函数的定义：

2.从集合的看法出发，函数定义：

给定两个非空数集A跟B，如果根据某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在确认的数f(x)与之对应，那么就把这些对应关系f叫做定义在A上的函数，记作或f：A→B，或y=f(x),x∈A.;

此时x叫做自变量，集合A叫做方程的定义域，集合{f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。习惯上我们称y是x的函数。

定义域，值域，对应法则

4.函数值

当x=a时，我们用f(a)表示变量y=f(x)的函数值。

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