【T·每日一题】反函数的概念与难点

课题：§2。2。2 对数函数（三） 教学目标： 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对 函数的模型化思想的理解． 过程与技巧 通过作图，体会两种变量的单调性的优劣． 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一． 教学重点： 重点 难两种变量的内在联系对数函数教案下载，反函数的概念． 难点 反函数的概念． 教学程序与环节设计： 创设情境 由方程的见解分析解法，引出反函数的概念． 组织研究 两种变量的内在联系，图象关系． 尝试训练 简单的反导数问题，单调性问题． 巩固反思 作业回馈 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对 数变量的定义、图象、性质作一总结． 简单的反导数问题，单调性问题． 课外活动 互为反函数的方程图象的关系． 教学过程与操作设计： 环节 材料一： 呈现教学材料 师生互动设计 生：独立构想完成，讨 论展示并预测自己的 结果． 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确 师：引导学员分析归 定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原本的 纳，总结概括得出结 一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人 论： （1）P 和 t 之间的对 们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之 应关系是一一对应； 创 间的关系．回答以下问题： （2）P 关于 t 是指数 （1）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含 函数 P (5730 1 ) x ； 设 2 量 P，并用函数的见解来解释 P 和 t 之间的关系， t 关于 P 是对数函数 指出是我们所学过的什么函数？ t log x ，它们的 1 情 5730 （2）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求 2 底数相同，所表述的都 该生物死亡的年数 t，并用函数的观点来解释 P 和 是 碳 14 的 衰 变过 程 境 t 之间的关系，指出是我们所学过的什么函数？ 中，碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应 （3）这两个函数有哪些特殊的关系？ 关系； （3）本问题中的同底 （4）用映射的看法来解释 P 和 t 之间的对应关 数的指数函数和对数 系是什么对应关系？ （5）由此你可获取怎样的启示？ 函数对数函数教案下载，是叙述同一种关 系（碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应 关系）的不同数学模 型． 材料二： 由对数函数的定义可知，对数函数 y log 2 x 是把指数函数 y 2x 中的自变量与因函数对调位 置而得出的，在列表画 y log 2 x 的图象时，也是 把指数函数 y 2x 的对应值表里的 x 和 y 的数值 对换，而得到对数函数 y log 2 x 的对应值表，如 下： 表一 y 2x ． 环节 呈现教学材料 师生互动设计 生：仿照材料一分析： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y…1 8 1 4 1 2 1 2 4 8… y 2x 与 y log 2 x 的关系． 表二 y log 2 x ． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y…1 8 1 4 1 2 1 2 4 8… 师：引导学员分析，讲 评得出结论，进而引发 反函数的概念． 组织 探究 在同一坐标系中，用描点法画出图像． 材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 因变量成为一个新的方程的自变量，而把这个方程 的自变量作为新的方程的因函数，我们称这两个函 数互为反函数． 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对 数变量互为反函数． 材料二：以 y 2x 与 y log 2 x 为例研究互为 反函数的两个函数的图像跟性质有哪些特殊的联 系？ 师：说明： （1）互为反函数的两 个变量是定义域、值域 相互交换，对应法则互 逆的两个函数； （2）由反函数的概念 可知“单调函数必定有 反函数”； （3）互为反函数的两 个变量是表述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学建模． 师：引导学生构建研究 材料二． 尝试 练习 巩固 反思 求以下方程的反函数： （1） y 3x ； （2） y log 6 x 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数 函数的定义、图象、性质作一总结． 生：分组讨论材料二， 选出代表详述各自的 结论，师生一同评述归 纳． 生：独立完成． 作业 反馈 环节 课外 活动 1． 求以下方程的反函数： x 1 2 3 4 y3 5 7 9 呈现教学材料 师生互动设计 x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 答案： 2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实 1．互换 x 、y 的数值． 数 a、b，都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．” 2．略． 的变量示例，你可写出这种函数带有这些共同性质 吗？ （2）试着举几个满足“对定义域内任意常数 a、 b，都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函 数例子，你可写出这种函数带有这些共同性质吗？ 我们了解，指数函数 y a x (a 0 ，且 a 1) 与对数函数 y log a x(a 0 ，且 a 1) 互为反函 数，那么，它们的图象有哪些关系呢？运用所学的 数学常识，探索下面几个问题，亲自看到其中的奥 秘吧！ 问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数 函数 y 2x 及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发 现这两个函数的图像有哪些特殊的对称性吗？ 问题 2 取 y 2x 图象上的几个点，说出他们 结论： 互为反函数的两 个变量的图像关于直 线 y x 对称． 关于直线 y x 的对称点的坐标，并推断他们能否 在 y log 2 x 的图象上，为什么？ 问题 3 如果 P0（x0，y0）在变量 y