基础教学学院教研论文与教学设计汇编（第三篇）

序

教学研究是一种有目的、有计划地研究教学问题，探索教学规律、教学原则、教学内容、教学方法、教学手段等的学术研究活动。教研论文和教学设计作为反映教师教学与研究综合能力的一个重要载体，能够促进教学理论的转化和推广、教学成果的提炼和传播、教师个体的成长和发展。

2020年10月,国务院发布《深化新时代教育评价改革总体方案》，指出“支持建设高质量教学研究类学术期刊，鼓励高校学报向教学研究倾斜”。2020年12月，教育部、人社部联合发布《关于深化高等学校教师职称制度改革的指导意见》，指出“提高教学业绩和教学研究在评审中的比重”。在此背景下，为了更好地总结推广基础类课程TOPCARES 教育教学改革的先进经验和优秀样例，为进一步推动促进基础类课程教师角色向教育家型教师角色的转变大学教案范文，特制《基础教学学院教研论文与教学设计汇编》(以下简称《汇编》)。

希望《汇编》能为基础课教师提供一个互相学习、互相交流、互相提高的教学研究平台，切实提高基础课教师的教学研究水平，从而反哺教学，催动 TOPCARES 教育教学改革的深度落实。

李连富

2021年12月31日

基于创新能力培养下的《高等数学》一堂课的教学设计

——以拉格朗日乘数法教学为例

[摘 要]在建设“金课”的背景下，基于创新能力的培养目标，以拉格朗日乘数法课程教学设计为例，通过案例教学法、探究教学法模拟科学发现、科学创新的过程，使学生在获取新知识的同时，科学思维方法得到训练，从而达到创新思维能力培养目标的要求。

[关键词]拉格朗日乘数法；教学设计；创新思维能力；案例教学法；探究教学法

[作者简介]张黎丽，副教授

一、引言

在打造“金课”的背景下，要求课堂教学具有高质量和高价值[1,2]，课堂教学不能仅仅满足于将知识讲解清楚，而要在传授知识的同时，能够培养学生解决问题的综合能力和高层次思维，高层次思维包括创新性思维。

高等数学是工科专业的一门公共基础课程，一方面为后续专业课程的学习提供必要的知识理论基础，另一方面学科的自身特点使得它在抽象思维、逻辑思维等思维能力培养上具有得天独厚的优势。但由于一般的数学教材和课堂教学只呈现数学结论，只关注逻辑的严谨性，往往隐藏忽略知识背后科学发现的过程和科学的思考方法，而恰恰这些对培养学生的创新思维能力起着至关重要的作用。

本文以《高等数学》中“拉格朗日乘数法”一课的教学为例，探讨教学过程中如何应用案例教学法、探究教学法模拟科学发现的过程，培养学生的创新思维能力，以达到高质量课堂教学要求。

二、教学设计

（一）内容分析

从知识逻辑结构、前后知识关联、知识拓展角度对教学内容进行分析。

知识点包括条件极值的概念、条件极值存在的必要条件、拉格朗日乘数法。条件极值是一种约束优化问题，条件极值存在的必要条件是构建拉格朗日乘数法的理论依据，拉格朗日乘数法是求解条件极值非常有效的一种方法，这种方法本质是通过引入拉格朗日乘子将条件极值转化为无条件极值进行求解。

之前已经学过无条件极值的解法，本节课是以条件极值为研究对象，学习时可以将二者进行类比，方便对新概念、新定理、新方法的理解和掌握。此外，定理推导过程中涉及件、多元复合到较多已经学过的知识点，包括向量平行充要条件、曲线法向量、无条件极值存在的必要条函数求导法则、隐函数存在定理。

教材里只讨论了条件极值存在的必要条件，并没有给出条件极值存在的充分条件，作为本节课内容拓展，引导学生深入思考，了解条件极值存在的充分条件。

（二）学情分析

从认知特征、数学现实两个维度[3]进行学情分析。

授课对象是工科专业的本科学生，认知特征上，数学思维能力相对较强，能够在教师的引导下进行抽象、逻辑演绎、类比分析等。数学现实上通过前期课程的学习，学生已经掌握向量代数、微分法在几何上的应用、复合函数求导法则、隐函数存在定理及无条件极值求法等内容，为本次课的学习做好了知识准备。

（三）教学目标

根据前面教学内容和学生情况的分析，确定如下教学目标。

（四）教学过程设计

1.总体设计思路

参照“金课”两性一度的标准，突出知识的来龙去脉，由实际案例创设问题情景，通过提出问题、分析问题、解决问题三个环节形成闭环，利用数形结合、类比分析、数学猜想等方法模拟科学发现的过程，引导学生参与其中，进行新理论、新方法的探究；制造认知冲突，进行知识建构，综合性的知识递进式展开，提出开放性的问题引导学生深入思考；原理可视化，创新教学手段，利用几何直观解释抽象的数学原理，在学习新知识的过程中，使数学思维能力得到训练，从而达到教学目标的培养要求.

2.具体过程

第一环节——提出问题

①由天问一号着陆火星为案例，分析着陆器外壳耐热材料设计问题引入新课。

②实际问题转化为数学最值问题，分析指出与学过的极值问题不同之处，制造认知冲突，给出条件极值新概念。

③提出问题如何求解条件极值。

第二环节——分析问题

①求解条件极值的第一种方法——转化为无条件极值，设置合适简单的例题，通过互动提问，由学生独立给出第一种求解条件极值的方法。

②引导学生思考第一种方法的局限性，发现问题，制造认知冲突，激发学生探究新方法的兴趣。

③类比无条件极值求解过程，要依据极值存在的必要条件得到可能极值点，从而引导学生着手下一步任务——探究条件极值存在的必要条件。

④提出猜想。利用数形结合，借助数学软件绘制目标函数等值线、约束曲线，观察极值点处目标函数等值线与约束曲线的位置关系，将几何关系转化为代数表达式，并且类比无条件极值存在的必要条件的结果，引入拉格朗日乘子，引导学生猜想条件极值存在的必要条件。

结合图形、类比无条件极值存在必要条件定理，能够有效帮助学生理解条件极值存在的必要条件定理的由来，并理解拉格朗日乘子的本质，解决教学难点，并且在探究过程中使学生类比、抽象、猜想等思维能力得到训练。

⑤验证猜想。逻辑推导验证猜想得到条件极值存在必要条件定理。

不直接给出定理的条件和结论。在推导过程中，根据复合函数求导法则、隐函数存在定理逐步对条件极值问题中的目标函数、约束条件附加需要满足的条件，从而完善定理条件，最终得到必要条件定理。

⑥类比无条件极值求可能极值点方法，依据条件极值存在必要条件定理提炼出拉格朗日乘数法。

引导学生分析拉格朗日乘数法，本质上求拉格朗日函数的驻点，与无条件极值求驻点和谐统一。

第三环节——解决问题

应用拉格朗日乘数法解决引例，形成闭环大学教案范文，使学生感受科学发现的过程，在提出问题、分析问题、解决问题的能力上得到训练。

三、教学设计创新点（一）模拟科学发现的过程，注重创新能力培养 教学过程不是传统的给出定理，证明定理，讲解例题的模式，而是通过数形结合提出必要条件定理的猜想；通过逻辑推导验证猜想，并且在推导过程逐步添加定理条件；通过类比分析构建拉格朗日乘法，通过这些方法模拟科学发现的过程，使学生能够参与其中，感受科学发现、科学创新的过程，从而慢慢养成创新思维习惯，逐步提高创新能力。（二）数形结合、类比分析，注重思维方法培养 数形结合、类比分析是重要的数学分析方法。 数形结合能够把抽象的概念、理论形象化、直观化。对教材中条件极值存在的必要条件定理进行了处理，增加了几何解释，利用数学结合的方法化解知识难点。使用数学软件绘制、展示图形，借助几何直观帮助学生加深对定理的理解。 类比是本次课的主线，本次课的类比主要是条件极值与无条件极值的类比：类比无条件极值的解题过程，明确条件极值解题首先要构造条件极值存在必要条件定理；类比无条件极值存在必要条件定理的结论，改进条件极值存在必要条件定理猜想的结论；类比无条件极值求可能极值点的方法，得到条件极值求解可能极值点的方法；类比无条件极值存在的充分条件，引导学生思考条件极值存在的充分条件是什么。从教师授课角度看，类比的教学设计使本次课的结构清晰，并推动课程各环节的过渡和衔接。从学生角度看，类比是一种重要的学习方法，与旧知识类比，在旧知识、旧方法中获得启发、获得灵感、获得思路，有助于对新知识的理解。

参考文献

1.吴岩.建设中国“金课”[J].中国大学教学，2018，12：4-9.2.邓忠波.大学课程中“水课”现象审视与“金课”建设进路[J].中国电化教育，2020,399：68-74.3.张波.刘金林.《高等数学》研究性教学解构与设计[J].扬州大学学报（高教研究版），2012,97-99