龙文教育教案讲义模板--等腰三角形_初二数学_数学_初中教育_教育专区

中小学 1 对 1 课外辅导专家武汉龙文教育学科培训讲义授课对象 授课时间 课 型 年 月 新授课 日 授课老师 授课题目 使用教具 李蕊 等腰三角形 白纸、水笔教学目标 教学重点和难点 参考教材（1）掌握等腰三角形的性质定律和判断公式，并会灵活运用。（2）能用上述结 论进行探讨与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。 重点是等腰三角形的性质定律和判断公式;难点是运用定理解决实际问题新观察、 “五三”教学流程及培训详案（一）知识梳理 知识点 1：等腰三角形的性质定律 1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC 中，因为 AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取 BC 的中点 D，连接 AD 在△ABD 和△ACD 中∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相同） （4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相同。 知识点 2：等腰三角形性质定律 2 （1）文字语言：等腰三角形的锐角平分线，底边上的中线，底边上的高等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，互相重叠（简称“三线 合一”） （2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠21 龙文教育·教育是一项良心工程中小学 1 对 1 课外辅导专家BD=DC AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相同，线段相等或平行。

说明：在等腰三角形中常常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重 合，如何添加要按照详细状况来定，作时只作一条，再依照性质得出另两条”。 知识 3：等腰三角形的判断公式 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相同，那么这两个角所对的边也相同（简写为“等角对等 边”） （2）符号语言：在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过 A 作 AD⊥BC 于 D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD 和△ACD 中∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相同。 说明：①本定理的证明也有其它证明方式（如作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方式有两种：1、利用定义 2、利用公式。【典型例题分析】基础知识应用题： 例 1. 如图，已知 P、Q 是△ABC 边 BC 上两点，且 BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC 的度数。解：∵AP=PQ=AQ（已知） ∴△APQ 是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° ∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120° 解答这些题的方法如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。

2 龙文教育·教育是一项良心工程中小学 1 对 1 课外辅导专家（2）利用三角形内角和公式，确定等量关系，借助等式或函数求解。 例 2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，D、E、F 分别为 AB，BC，AC 上的点，且 BD=CE，∠ DEF=∠B。 求证：△DEF 是直角三角形。证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和公式） ∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质） ∠B=∠DEF（已知） ∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等） 在△BED 和△CFE 中 ∠BDE=∠FEC 中 （已证） BD=CE （已知） ∠B=∠C （已知） ∴△BED≌△CFE （ASA） ∴DE=EF （全等三角形对应边相同） ∴△DEF 是直角三角形 （等腰三角形定义） 综合应用题： 例 3. 已知：如图，AC 和 BD 相交于点 O，AB∥CD等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知） ∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线垂直，内错角相等） ∵OA=OB （已知） ∴∠A=∠B （等边对等角） ∴∠C=∠D （等量代换） ∴OC=OD （等角对等边） 例 4. 如图，在四边形 ABDC 中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断 DC 与 AC 的位置关系，并证 明你的结论。

证法一：证明：作 DE⊥AB 于 E ∵DA=DB DE⊥AB3 龙文教育·教育是一项良心工程中小学 1 对 1 课外辅导专家∴AE=BE= ∵AB=2AC ∴AE=AC 在△AED 和△ACD 中∴△AED≌△ACD ∴∠C=∠AED=90° ∴DC 与 AC 的位置关系为：DC⊥AC证法二：证明：延长 AC 到 F，使 CF=AC，连结 DF ∵AB=2AC，AF=2AC ∴AB=AF 在△ABD 和△AFD 中∴△ABD≌△AFD ∴DF=DB ∵DA=DB ∴DA=DF 又∵AC=CF ∴DC⊥AF说明：法一是利用了“截长法”即在长直线 AB 上截取 AE= AB 法二是运用了“补短法”即在短直线 AC 上补足 AF=AB，从而超过解决难题的目的。 例 5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相同 解：已知：如图所示，在△ABC 中，AB=AC，BD，CE 是△ABC 的中线 求证：BD=CE4 龙文教育·教育是一项良心工程中小学 1 对 1 课外辅导专家证明：∵BD，CE 是△ABC 的中线 ∴AE= AB，AD= AC ∵AB=AC ∴AE=AD 在△ABD 和△ACE 中∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE（全等三角形的对应边相同） 说明：这是一个证明文字描述的几何命题的考题，做这类题时首先应分清题设，结论，画出草图， 结合图形写出：已知、求证、然后再证明。

例 6. 如图，点 C 为线段 AB 上的一点，△ACM，△BCN 是等边三角形，AN，MC 相交于点 E，CN 与 BM 相交于点 F。 （1）求证 AN=BM （2）求证△CEF 为等边三角形证明：（1）∵△ACM，△CBN 是等边三角形 ∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60° ∴∠ACN=∠BCM=120° 在△ACN 和△MCB 中∴△ACN≌MCB（SAS） ∴AN=BM （2）由（1）中△ACN≌△MCB ∴∠ANC=∠MBC 在△CEN 和△CFB 中∴△CEN≌△CFB（ASA） ∴CE＝CF 又∵∠ECF＝60° ∴△CEF 为等腰三角形【模拟试题】（答题时间：25 分钟）1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为（ A. 60° B. 120° C. 60°或 150° D. 60°或 120°龙文教育·教育是一项良心工程）5中小学 1 对 1 课外辅导专家2. 如图，△ABC 中 AB=AC，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=AD，则∠A 的度数为（ A. 30° B. 36° C. 95° D. 70°）3. 如图，△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若 BF=AC，那么∠ABC 的大小是 （ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°4. 聪明的小明用含有 30°角的两个完全相等的三角板拼成如图所示的花纹，并看到图中有等腰三角 形，请你给他找出两个等腰三角形： 。

5. 如图，一个顶角为 40°的等边三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度。6. 在△ABC 中，AB=AC，AB 边的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40°，则底角∠B 的大小为 。 7. 如图，已知△ABC 为等腰三角形，D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且△DEF 是等边三角形 （1）除已知相等的边以外，请你猜想也有这些相同的线段，并证明你的猜测是恰当的。 （2）你所证明相同的线段可以借助怎么样的差异彼此受到？写出变化过程。【试题答案】1. D 2. B 3. B 4. △ABE，△BEC 或△CED 5. 220° 6. 65°或 25° 7. 解：（1）图中也有相同的线段 AE=BF=CD，AF=BD=CE （2）线段 AE、BF、CD 绕△ABC 的中心按顺时针方向转动 120°互相得到线段。 AF、BD、CE 绕△ABC 的中心按顺时针方向转动 120°互相得到。家长签名：6 龙文教育·教育是一项良心工程