高中解析&#

热门搜索

高中解析几何“点到直线的距离”教学案例及反思-高中数学教育论文

论文摘要：本文介绍了高中解析几何“点到直线的距离”教学案例及教学反思 ，旨在指导教师的教和学生的学 。

论文关键词：解析几何；教学案例；反思

一、教学目标

(一)教学知识点

1.点到直线距离公式 。

2.两平行线间距离 。

(二)能力训练要求

1.理解点到直线距离公式的推导 。

2.熟练掌握点到直线的距离公式 。

3.会用点到直线距离公式求解两平行线间距离 。

(三)德育渗透目标

1.认识事物之间在一定条件下的转化 。

2.用联系的观点看问题 。

二、教学重点

点到直线的距离公式 。

三、教学难点

点到直线距离公式的推导思想与应用 。

四、教学方法(学导式)

在引入本节的研究问题 ，点到直线的距离公式之后 ，引导学生积极思考 ，动手演练 ，分析点到直线距离的求解思路 ，一起分析探讨解决问题的各种途径 ，通过比较 ，选择其中一种较好的方案来具体实施 ，同时利用多媒体现代化手段增大教学容量和直观性 ，以培养学生分析问题进而解决问题的能力 。

在解决两平行线的距离问题时 ，注意启发学生要与点到直线的距离产生联系 ，从而运用点到直线的距离公式求解 。

五、 教学过程

(一)课题导入

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 然后教师引导学生用“平面化” 的思想来思考问题：从直线与直线垂直、 直线与平面平行等的定义过程得到启发， 能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、 直线与平面平行等的定义过程得到启发， 能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢。

这一节 ，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离 。

(二) 讲授新课

1.提出问题

向量的概念向量的线性运算向量的数量积、向量积和混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。反距离权重插值法的基本原理：已知平面上一系列离散点pi f 1，2，…，，1 的未 知坐标及其高程值zj，任意栅格点p的高程值都可以通过其周围局部领域内的点的高程 值加权求算，周围点与p点因分布位置的差异，对p点的影响不同，与p距离近的点 对p点的影响最大，这种影响用权函数晰来确定两_6s]。如果相交，求它们交点的坐标． 典型例题 因为： = 1 > 0 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 解法二：圆 可化为 其圆心c的坐标为（0，1），半径长为 ，点c （0，1）到直线 l 的距离 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 典型例题 例1 如图点到法向量的距离公式，已知直线l： 和圆心为c的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系。

[师]下面 ，我们一起分析这一问题的解决方案 。首先看图1某校（点A）要从网络干线

(直线)引进一条支线通进本校 ，在干线上选择哪一点最好 ？

[生]过A作AP⊥于P ，则P是最佳选择 。

[师]生活中类似问题很多 ，“垂线段最短” ，就是求点到直线的距离点到法向量的距离公式，

初中是用的几何办法 ，今天我们在解析几何中选用什么办法呢 ？

[生]代数办法解决几何问题 。 （图1）

[师]先看一个简单问题 ，图 ，点P（1 ，3）到直线的距离是 ，到直线的距离是 。

学生很轻松地答对了 。&nbs

p;

师生反思：对一般问题呢 ？从特殊到一般是数学研究的普遍策略 ，我们看任一点P（x0 ，y0）到直线x=a的距离是 ， 到直线y=b的距离是 。 （图2）

[生]点P（x0 ，y0）到直线x=a的距离是|x0—a| ，到直线y=b的距离是|y0—b| 。

[师]别忘记绝对值符号 ，距离是个非负数 ！数形结合的话距离就是“横线段、纵线段” 。（老师演示）

[师]现在我们看更一般的问题 ，即：点P（x0 ，y0）到直线Ax+By+C=0的距离是什么呢 ？这比以前两个问题更富有挑战性 ，大家思考怎么办 ？

[生]过P作垂直于的直线 ，求出该直线与的交点Q的坐标 ，再求出PQ的长 。

对教材中的重点、难点以及教学方法,精心分析、讨论,探讨突出重点、突破难点、促进学生发展的思路和方法。三、2017年浙江省高考考试说明3.在数学思想方面,注重数形结合,体现双重性.2.在知识应用层面,重视向量运算,体现工具性.1.在知识学习层面,强化概念理解,体现基础性.函数思想、数形结合思想、化归与转化 五、平面向量问题的探讨平面向量的运算与数量积2016年 途径一:观“形”察图五、平面向量问题的探讨途径二:“数”算为计（一）运用线性运算,解图形（二）活用几何意 [来自e网通客户端]。本实用新型提供异站交会照像测绘仪，其属于精度较高的异站操作测绘，其单台仪器只需一个照像机，只需要在每个测站测量时，对知道或能求到摄影中心坐标的摄影设备的主光轴的方位角和倾角进行测定，并对测区进行摄影，即完成外业工作，可在不同位置对同一区域照像，就按申请日为2013年8月i日申请号为201310344844.3题为《摄影中心到目标实物点的方位角的测量方法及运算设备》的专利申请内容的原理，在内业中继续用两张像片去求得两个摄影中心分别到同一待测物的方位角，用该两摄影中心坐标和该两方位角前方交会求得该待测物坐标，按该方式求待测物坐标，无需在像平面单独建立坐标系，而且可以跟据需要只求待测物坐标，无需一定要将其三维的位置一起(及连同高程一起)求出，并且求测该坐标时，只需要两摄影中心坐标、两摄影中心分别到该待测物的方位角作为主要数据，求测需用的因素少，运算简单化，且其解算方式或原理是类同极为普遍的全站仪测量模式，普通测绘技术人员原易懂，易掌握，易发现和解决作业过程中的错误或误差，且不需要高级的应用数据处理软件和运算设备，具有技术门坎低，成本和推广效率的优势，利于照像测绘的迅速推广，在实施例中，异测站操作时，需要较多地搬动测站，设立每个测站又要经过对中和整平操作，对中和整平操作需反复调试，浪费较多时间，寻求只需要整平操作不需进行对中操作的照像测绘仪对提高测量工作效率十分重要，通过该实施例，可以省略对中操作和反复整平、对中的过程，只需整平后用其它仪器对测站坐标、高程进行测量并定向操作后即可进行照像测量，工作效率能得到极大提高，通过其能求测摄影中心到像点所对应的实物点的方位角或垂直角。

[生]先求出MP、NP的长 ，在RtΔPMN中 ，作斜边上的高PQ ，利用等面积法求得PQ的长即可 。看图（教师演示）

[师]：M、N点的横、纵坐标分别为 ，那么MP= ，NP= 。

[生]： ，

MP=

NP= ，则

于是得点P(x0 ，y0)到直线的距离公式

师生反思：可以证明当A=0或B=0时 ，以上公式仍适用 ，于是我们得到平面内任一点到任一条直线的距离公式 ！大家看一下它的结构特征分子是什么 ？分母是什么 ？这就要求我们应用公式时 ，必须先将方程化成一般式 ！这个公式体现着和谐美、对称美 。但是如果直线是平行于x轴或y轴的直线时 ，我们一般是不用公式更简单 ！（为什么呢 ？）

[师]同学们我们以上给出了两种推导方法 ，第一种解析法易想不易算不可行 ，第二种等面积法看似麻烦却简单易算易行 ！这就启示我们对于数学问题必须勤动手 ，切不可仅仅停留在想想而已 ！下面大家讨论一下这个公式还有别的证明方法吗 ？

[生]我们小组认为根据“垂线段最短”在直线上任取一点R（ ） ，则|PR| 的长度最小值就是点到直线的距离 ，即|PR|=但是运算也比较繁 ！还得化简 ，再配方才可以 ！

做题时，有些同学由于知识缺陷，思路不够开阔，往往在解一道题时思考半天也做不出来，从而浪费了许多时间。对平行四边形公式进行巩固练习 同学已经学习平行四边形的公式但还未实际应用 8分钟 教师根据学生所学情况在ppt展示所对应练习题 学生根据所学的知识做练习巩固知识点 通过总结，疏理知识，帮助学生深化知识的理解掌握，进一步建构完整的知识体系。同学问他题目，发现他的思路与他人不一样，他甚至会用更简单的方法来计算或解释，有时一个公式就可以搞定，同学说他“牛”，称他为“路哥”。

21．线段ab 12cm，线段mn 10cm，点d在直线ab上，在ab上取一点c，使得ac：bc 2：1，点m，n在直线ab上且分别是ab，cd的中点，求线段ad的长．22．如图，已知直线ab和cd相交于o点，∠coe 90°，of平分∠aoe，∠cof 28°，求∠bod的度数．23．如图，已知数轴上点a表示的为8，b是数轴上一点，且ab 14，动点p从点a出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点b表示的数__________，点p表示的数__________（用含t的代数式表示）。1、如图,在平行四边形abcd中,对角线ac与bd交于点o,ab→+ad→=λ ao→,则λ=________.2、若点m是△abc所在平面内的一点,且满足5am→=ab→+3ac→,则△abm与△abc的面积比为______3、设d,e分别是 △abc的边ab,bc上的点,ad=12ab,be =23bc.若de→=λ1 ab→+λ2 ac→（λ1,λ2为实数）,则λ1+λ2的值为______4、已知向量a,b不共线, c=λa+b,d=a+（2λ-1）b,若c与d同向,则实数λ的值为____5、设a,b是两个不共线向量,ab→=2a+pb,bc→=a+b,cd→=a-2b, 若a,b,d三点共线,则实数p的值为______6、若非零向量a,b满足|a|=|b|,且（2a+b）•b=0,则向量a,b的夹角为______7、已知向量ab→与ac→的夹角为120°,且|ab→|=3,|ac→|=2.若ap→=λab→+ac→,且ap→⊥bc→,则实数λ的值为______。如果相交，求它们交点的坐标． 典型例题 因为： = 1 > 0 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 解法二：圆 可化为 其圆心c的坐标为（0，1），半径长为 ，点c （0，1）到直线 l 的距离 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 典型例题 例1 如图，已知直线l： 和圆心为c的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系。

为直线上的任一点（如图所示） ，

由平面向量的有关知识 ，可得： ，显然 ，当A=0或B=0时 ，上述公式仍成立 。

[师]下面我们就来享受我们的劳动成果 ，填写下表（多媒体）

点P

直线

点P到直线的距离

结论

（—1 ，2）

（—1 ，2）

x+2y=10

（—1 ，2）

3x=2

（—1 ，2）

3y=2

（2 ，—2）

3x+4y+2=0

点P在直线上

学生认真计算 。

[师]通过填表我们得到启示特殊情况特殊处理 ，具体问题具体分析是我们解决一切问题的核心 ！下面看几个变式训练（多媒体）

问题1：若点（4 ，m）到直线距离是3 ，求m 。

问题2：若点（4 ，3）到直线的距离是3 ，求m 。

[师]这两题m的不同位置有不同效果 ！你能不能数形结合来说明一下?

21．线段ab 12cm，线段mn 10cm，点d在直线ab上，在ab上取一点c，使得ac：bc 2：1，点m，n在直线ab上且分别是ab，cd的中点，求线段ad的长．22．如图，已知直线ab和cd相交于o点，∠coe 90°，of平分∠aoe，∠cof 28°，求∠bod的度数．23．如图，已知数轴上点a表示的为8，b是数轴上一点，且ab 14，动点p从点a出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点b表示的数__________，点p表示的数__________（用含t的代数式表示）。若点在这个函数图象上，求a的值．14．如图，直线y=－2x+4分别与x轴、y轴相交于点a和点b，如果线段cd两端点在坐标轴上滑动，且cd=ab．当△cod和△aob全等时，求c、d两点的坐标。ii）当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）b卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21. 已知点在直线（为常数，且）上，则的值为_____.22. 若正整数使得在计算的过程中，各数位均不产生进位现象，则称为“本位数”.例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_______.23. 若关于的不等式组，恰有三个整数解，则关于的一次函数的图像与反比例函数的图像的公共点的个数为_________.24. 在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接.有以下说法：。

[学生甲]可以认识它的本质是求点到直线的距离 ，所以直线AB为x+y-4=0 ，利用公式求点Q （-1 ，-1）到直线AB的距离即可 。

[学生乙]用平面几何知识面积法也可以求 。

[学生丙]设直线AB上动点P（x ，y） ，则PQ= ，代入PQ关系式利用函数思想也可以求得 ！

[师]这道题引起大家的广泛兴趣 。竟然涉及解析法、平几法、函数法 ，异彩纷呈 。我们给予热烈掌声 ！

问题4：求平行直线的距离 。

解法一：在直线上取一点P（4 ，0） ，因为 ，所以点P到的距离等于到的距离 ，

于是 。

解法二： ，由两平行线间的距离公式知：若 ，则之间的距离 ，于是得 。