利用二次函数找规律60512

利用二次函数找规律

昆明第五中学史安

随着新课标的实施,每年都有不少关于“图形”“数字”的规律题出现,规律型试题因它具有的直观性、可操作性更能考查学生的识图、分析、归纳、想象、动手操作、自主探究等多种能力而备受青睐.这类题既是规律题,那便有规律可循,解题的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是(1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳;(2)猜想符合规律的一般性结论;(3)验证或证明结论是否正确。而现在主要向大家介绍另一种解决找规律问题的方法，那就是用二次函数的思想来解决，下面通过几个具体的例子说明这些问题. 一、寻找图形的增减规律

例1:观察图中正六边形网的变化规律:

(1)、完成下表

12345正六边形网的圈数

小点总数

(2)、如果用n表示六边形网的圈数，m表示这个正多边形中小点的总数，那么m和n的关系是什么,

这道题如果用观察、分析、归纳的办法来找规律就显得非常困难，因为在结果中n的次数是2次，下面我们就用二次函数来解，你会发现

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问题变得很容易下手，结论也易于得出。

解:

(1)、填表

12345正六边形网的圈数

618366090小点总数

(2)、在平面直角坐标系中描出点

(1，6)、(2，18)、(3，36)、(4，60)、(5，90)、

观察图中描出的点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，正多边形中小点的总数m和六边形网的圈数n的关系可以用二次函数来模拟，设m=an2+bn+c,

在已知数据中，任取三组，如取(1，6)、(2，18)、(3，36)分别代

2,611,，，，，abc

,21822,，，，，abc,

,23633,，，，，abc,入所设的函数关系式，得方程组，解这个方程组得，abc,,,3,3,0

所以，m=3n2+3n.

再将点(4，60)、(5，90)分别代入检验，均成立。因此，m和n的关系为m=3n2+3n。

例2:(2004年泸州)把正方体摆放成如图的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，……，则第n层有,,,个正方体.

解:观察图形中正方体的层数与正方体的个数之

间存在这样的关系:第一层，1个;第二层，3个;

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第三层，6个;可猜测第四层，10个;第五层，15个，……二次函数的应用论文，由此我们可以得到一组点的坐标(1，1)，(2，3)，(3二次函数的应用论文，6)，(4，10)，(5，15)，

那么我们就可以设正方体的个数s与正方体的层数n之间的函数关系

2sanbnc,，，式为，再将任意3个点的坐标代入所设函数关系式，就

abc,,能求出系数的值。若我们选择的是前三个点的坐标，则有

2,111,，，，，abc

,2322,，，，，abc,11,2abc,,,,,0633,，，，，abc,22解这个方程组得，

112snn,，22所以.

再将点(4，10)，(5，15)分别代入检验，均成立。

112snn,，22因此第n层有个正方体。

二、寻找数的排列规律

例3:有一组数1，5，9，13……，第5个数是几,第10个数呢,第n个数呢,

解:

观察序号与数字的关系可以用一组点的坐标来代替(1，1)，(2，5)，

2sanbnc,，，(3，9)，(4，13)……，由此可以设，n取1，2，3，……，将点(1，1)，(2，5)，(3，9)分别代入所设的函数关系式，

2,111,，，，，abc

,2322,，，，，abc,

,2633,，，，，abcabc,,,,0,4,3,得方程组，解得.

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sn,,43所以

再将其它点代入检验，均成立。

截至11月7日，初诊病人1642例，查痰人数1561例，涂阳病人95例，涂阴1466例，入项治疗病人529例。其中涂鸦可以选择线条粗细与线条颜色，而且它还隐藏了一个图案识别功能，当你用手指划拉出一个圆圈或者方形，系统会自动给出标准的圆圈或方形图案。例8：棱长为a的正方体，摆放成如图2-4所示的形状.（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积：（2）立体图形的截面与三视图课后作业 姓名： 家长签名：一：选择题：1、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）a．正方体 b．三棱柱 c．长方体 d．圆锥体2、下列图形中左视图和主视图不一样的图形是( )a 长方体 b 圆柱 c 、圆锥 d 圆3、如图2-10，是由几个小立方体块搭成的几何体，小正方形内的数字表示在该位置小立方块的个数，其主视图、左视图正确的是（ ）4、一块方形蛋糕,一刀切成两块,两刀最多可切成四块,那么五刀最多可切成( )a 7块 b 12块 c 14块 d 16块二：解答题：1、一个平面去截一个几何体两次，一次所成截面是圆，另一次是等腰三角形，那么这个几何体是 。

……

n=1n=2n=3

解:在这个问题中我们同样能得到一组点的坐标(1，3)，(2，7)，(3，11)

(4，26)……，同样设正方体的个数s与图形的序号n之间的函数

2sanbnc,，，关系式为，再将点的坐标(1，3)，(2，7)，(3，11)代

2,311,，，，，abc

,2722,，，，，abc,

,21133,，，，，abc,入所设的函数关系式，可得方程组解得abc,,,,0,4,1.

sn,,41由此

再将其它点代入检验，均成立。

41n,所以第n个图形中正方体的个数是个.

（2）根据题意可判断出一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和，代入二次函数解析式可求出交点坐标，代入一次函数解析式可得出k与n的值，继而得出一次函数解析式．（3）先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为－3得出b与a关系，再根据一元二次方程2ax+bx+q=0有实数根可得到关于q的不等式，求出q的取值范围即可．解答：解：（1）由二次函数的图象可知：二次函数的顶点坐标为（1，－3），∵二次函数的对称轴方程为x=1，∴二次函数与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），于是得到方程组，。(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．。方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．。

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是一次函数的关系式，那会不会有什么问提呢,其实在实际的做题过程中，不必考虑它是哪种函数关系式，可以统一设为二次函数的关系

代入式(9)得考虑到式(2)，式(10)可改写为对式(11)两边乘以ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得当简谐激励时，式(12)的稳态响应解为全响应解为当阶跃激励时，式(12)的解为类似地，梁的弯曲振动微分方程令，代入式(13)，经过一系列处理，得---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------解题步骤1 自由振动分析①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数。  同理可得，出现s2(t)时y(t)的似然函数fs2(y)为 fs2(y)= 代入m1和m2的具体表示式可得: 假设发送信号s1(t, φ1)和s2(t, φ2)的先验概率相等，采用最大似然准则对观察空间样值作出判决，即 fs1(y)＞fs2(y), 判为s1 fs1(y)＜fs2(y),判为s2 判为s2 将式(8.4 - 15)和式(8.4 - 16)代入上式可得: 判为s2 判决式两边约去常数k后有 判为s1 判为s2 根据零阶修正贝塞尔函数的性质可知，i0(x)是严格单调增加函数， 若函数i0(x2)＞i0(x1)，则有x2＞x1。）振型函数 ①其中边界条件 ②①式代入②式得振型函数 ③（再进行受迫振动分析。

例5:(06宜昌市)数字解密:第一个数是3=2+1.第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8，……观察并猜想第六个数是________.

解:我们先找出点的坐标(1，3)，(2，5)，(3，9)，(4，17)……，

2sanbnc,，，然后设函数关系式为，再将点的坐标(1，3)，(2，5)，

2,311,，，，，abc

,2522,，，，，abc,

,21933,，，，，abcabc,,,,6,16,13,(3，9)代入得方程组:解得

2snn,,，61613因此.

2s,，,，，,6416413454但我们若把第四个点的坐标代入就会发现，而实际上这道题目中的第四个数是17，第五个数是33，第六个数是65.下面给出一种解法供参考，解决这样的题目关键是要观察数字的数量关系，找出其中蕴含的规律，并根据规律猜想出问题的答案，这样的题目一般是体现由特殊到一般，再由一般验证特殊的思想.观察发现规律?:右侧两数据的差为1;规律?:左侧数据与前一个数的右侧第一个数据相同.由此猜想第五个数是33=17+16，第六个数是

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