数论初步PPT课件

数论初步 袁文兵 2010-4-16 主要内容 • 素数 • 最大公约数GCD • 扩展欧几里德 • 线性不定方程 • 模线性方程 • 中国剩余定理 素数 • 如果大于1的正整数p仅有的正因子是1和p, 则称p为素数(prime) • 大于1又不是素数的正整数称为合数(compound) • 如果n是合数, 则n必有一个小于或等于 的素因子（反证法） n惟一分解定理 • 每个正整数都可以惟一地表示成素数的乘积，其中素数因子从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个素因子）。 • 换句话说, 任意正整数n可以写成n=2 a1 *3 a2 *5 a3 *…, 其中a1,a2,a3等为非负整数, 或者写成n=p1 b1 p2 b2 p3 b3 …pk bk 。 其中pi为从小到大的素数，bi为正整数。该表达形式被称为标准表达式。 约数个数定理 • 对于任意正整数n有： n=p1 b1 p2 b2 p3 b3 …pk bk （素因子分解） • 则n的正约数个数为： d(n)=(b 1 +1)(b 2 +1)(b 3 +1)…(b k +1) 如：28=2 2 7 1 则28的正约数个数为(2+1)(1+1)=6 分别为：1, 2, 4, 7, 14, 28 （证明？）---- 概率论里面的知识 互素定理 1.互素：若整数a1与a2的最大公约数为1，即gcd(a1,a2)=1. 则称a1与a2互素。

显然若a1、a2均为素数，则互素。 比如 11 与 4互素，3 与 7 互素。 2.在[1,n]之间与n互素的整数个数为： M=n*(1-1/p 1 )*(1-1/p 2 )*…*(1-1/p k ) 其中p i 为n的素因子， 该公式就是著名的欧拉函数： 如何证明？实现代码 • primeCount = 0; • for(i = 2; i < n; i++) • isPrime[i] = true; • for(i = 2; i < n; i++) • if(isPrime[i]){ •primes[primeCount++] = i; • if(i <= n/i) •for(j = i*i; j <= n; j += i) •isPrime[j] = false; • } 最大公约数（GCD） • 令a和b是不全为0的两个整数，能使d|a和d|b的最大整数称为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)表示，或者记为(a,b)。数论初步

• 令a和b是不全为0的两个整数，能使a|d和b|d的最小整数称为a和b的最小公倍数，用lcm(a,b)表示，或者记为[a,b] • 定理: ab = gcd(a,b) * lcm(a,b) • 证明：利用素因子分解定理 求GCD（a,b） • 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。 • gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) • 证明: • a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b • 假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 辗转相除法（续） • 依据以上原理： • 经过一步代换必有 a > b • 以后的每次代换 将 a 换为 b ,将 b 换为 a % b ,这样 a,b 必定再减小。 • 当 b 减小到 0 时，它们的最大公因数为a 实现代码： • int euclid(int a,int b) • { •if (b==0) •return a; •else •return euclid(b,a%b); • }扩展欧几里德算法 • 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b。

载波频率在脉冲起始与终了时刻的频 差为 Δf |f1-f2| b 线性调频信号的波形如图2-11所示： 线性调频信号的频率在信息脉冲持续时间t内随时间线性变化, 由此可得其瞬时频率与时间的关系为 ω t ω0+μt 式中ω0为载波频率, μ为一常数, 所以线性调频信号的瞬时相位ψ t 和线性调频信号在信息脉冲持续时间t内的表达式s t 分别为 线性调频信号的产生方法, 可由一个锯齿波信号控制压控振荡器 vco 来实现。这适用于对普通拼写错误的获取和重定向，对获取一些不建议的属性时候给出警告(如果你愿意你也可以计算并且给出一个值)或者处理一个 attributeerror 。究其原因是，将随机收益率引进可赎回债券定价的偏微分方程方法或优化方法中，会使得定价的方程或模型变得更加复杂，给求解增加难度。

中国剩余定理——大衍求一术。一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。