【每日一题】BD和BC之间的关系（一）

中考数学一轮复习。全等三角形和双等腰旋转的知识点及习题及答案（3) 一、 全等三角形和双等腰旋转1.如图1所示，在等腰ABC中，AB AC，BAC a，点P为线段AB的中点，绕点P顺时针旋转线段PC得到PD并连接到BD。（1）图2，如果60，其他条件不变，先完成图形，然后探索线段BD和BC______之间的定量关系（直接写结论，不解释原因）（2）如图3，如果90，其他条件不变，探索线段BP和BD BC和BC的等价关系，并说明原因。（3）如图4，如果120，其他条件不变，则BP、BD和BC的等价关系探索为______。答案：（见1）图形的详细解释，BC=AB=2BD；（2）BC=BD+BP，见deta解释原因； (3） BC =BD+BP [解析] (1）先完成图形，再连接CD得到一个等边三角形，使BC为PD的垂直平分线，然后可以被解析：（1）图详细解释见，BC=AB=2BD；（2）BC=BD+2 BP，原因请看详细解释；（3） BC =BD+ 3 BP 【解析】（1）先完成图形，然后连接CD，可以得到△CPD 然后我们可以推导出BC是PD的垂直平分线，然后我们可以得出结论;（2）取BC的中点F，连接PF，推导出△BPF是等腰直角三角形，使得BF=2BP，然后证明BDP≌FCP，即可求解；（ 3）由BDP≌FCP，BD=CF，然后3 PF=3 BP=BF，即可得出结论。【详解】解：（1）补图如下： BC=2BD，原因如下：连接CD，∵线段PC绕点P=60°顺时针旋转得到PD，∴CP=DP，∠CPD=60°，∴△CPD是等边三角形，∴∠CDP=∠DCP=60°，∵点P是线段AB的中点，∠A=60°，AB=AC，∴ABC是等边三角形，CP⊥AB等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，∠BCP =1 ∠ ACB=30°，2 ∴ ∠ BCD=60°-30°=30°，∴BC平分∠PCD，∴BC是PD的垂直平分线，∴BD=PB，即：BC=AB=2BD； (2）取BC的中点F连PF，∵∠A=90°，AB=AC，∴ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点， ∴PF为ABC的中线，∴PF∥AC，∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，∴△BPF为等腰直角三角形，∴BF=2BP，BP= PF，∵∠DPC=∠BPF=90°，∴∠BPD=∠FPC，∵PD=PC，∴BDP≌FCP，∴BD=CF，∵BC=BF+FC，∴BC=BD+2BP； 3） 从第一（2） 问题我们知道：BDP≌FCP，∴BD=CF，∵∠BAC=∠DPC=120°，PF∥AC，PF=1AC，2和∵BP = 1 AB, AB=AC, 2 ∴ 3 PF= 3 BP=BF, ∴ BC=BF+CF=BD+ 3 BP. 【结题】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判断和性质，以及等边三角形的判断和性质。添加适当的辅助线来构造全等三角形是解决问题的关键。 2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E是AC上的一个点，AB=AE，AG ⊥BE，交点BE在H点，交点BC在G点，M点是si上的一点de BC。 （1）如图1，若M点与G点重合，AH=2，BC=26，求CE的长度；（2）如图2，若AB=BM , 连接MH, ∠ HMG = ∠ MAH, 验证：AM = 2 2 HM; (3） 如图3，若M点为BC的中点，则使B点绕AM的对称点N，连接AN,MN,EN，请直接写出∠AMH,∠NAE,∠MNE的角关系。答案：(1）;(2）见分析;(3）∠NAE+2 ∠ MNE＝2∠ AMH [解析]（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可以求解；（2）根据等腰直角三角形的性质和性质可以求解）直角三角形和全等三角形；分析：(1）2;(2）见分析；(3）∠NAE＋2∠MNE＝2∠AMH[分析](1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可以求解；（2）根据等腰直角三角形的性质和性质判断全等三角形的 ent 和性质；是的。 【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AE，∴△BAE为等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴AH为△BAE的中线，∴BE=2AH =4，∵∠BEA=45°，∴∠BEC=135°，在△BCE中，交点C为CD⊥BE在D点过BE的延长线，如图1所示，∵∠DEC=45° ，∴△DEC为直角等腰三角形，设ED=x，则DC=x，CE=2x，在Rt△BCD中，BC2=BD2+DC2，即(26)2(4 x)2 x2, ∴ x1 = 1 or x2 = ﹣5 (cut down), ∴ CE = 2; (2）如图2，通过H为HD⊥HM，在D点过AM，连接对BD，∵AB=AE，∠BAC＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，∵AG⊥BE，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH=AH，∠BAH=45°，∠BHA=9 °, ∵ AB=BM, ∴ ∠ BAM=∠ BMA, ∵ ∠ HMG=∠ MAH, ∴ ∠ BAM﹣∠ MAH=∠ BMA﹣∠ HMG, 即∠ BAH=∠ AMH∴, HD∴, HD △D HM为等腰直角三角形，∴DH=HM，∠DHM=90°，∵∠BHD=∠BHA＋∠AHD，∠AHM=∠DHM＋∠AHD，