等腰三角形知识点及典型习题教案模板3(【期中复习】实用标准等腰三角形（附答案）！)

实用的标准等腰三角形一、等腰三角形的意思：有两个边相等的三角形。常见问题：已知两条边和第三条边的长度，求周长。示例：两条边的长度分别为 2 和 5。求周长。注：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 二、等腰三角形属性：1.equlateral 等边角，例如：知道AB=AC，∠B=∠C 等腰三角形的属性：2等腰三角形的顶角的平分线，底边的中线和高线的底部彼此重合（通常称为“三线合一”）。注意：只有等腰三角形是三线合二为一。 【例1】 如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AC上，BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数。 ABDC3.等腰三角形的判断定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角的边也相等（简称“等角等边”）。 4.【例2】证明：如果三角形外角的平分线与三角形的一边平行，则该三角形是等腰三角形。已知：∠CAE为△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）。验证：AB=AC。 E证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两条直线平行，对位角相等），A1 2D∠2=∠C（两条直线平行，内误差角相等）。 BC和∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角等边）。习题：已知：如图所示，AD∥BC、BD等分∠ABC。验证：AB=AD。文档实用标准证明：∵AD∥BC，AD∴∠ADB=∠DBC（两条直线平行，内误差角相等）。且∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，BC∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角等边）。 【例3】如图（1），标杆AB的高度为5米，为了固定它，需要从它的中点C?拉两条绳子到D和E这两个点等于地面上的B点，使D、B、E在一条直线上，测量DE=4米，绳子CD和CE应该多长？M AC CDBE(1)DBEN(2)Analysis : 这是一个现实生活中的相关问题 解决这类问题，需要将实际问题抽象为一个数学模型，这个问题是通过知道等腰三角形中等腰三角形的底边和高来求腰长。一、review 知识点 1、两条边相等的三角形是等腰三角形，两条相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰之间的夹角叫做顶角，中间的夹角叫做腰部和底部称为底角。 2.三角形按边分类：等腰三角形等腰三角形的底和腰t 不相等。等腰三角形等腰三角形（等边三角形） 3、等腰三角形是一个轴对称图形，其性质是： 性质1：相等 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边等角”）。性质2：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高重合。 4.等腰三角形判断定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角的边也相等（简称“等角等边”）。 二、例题文件实用标准例子：如图，五边形ABCDE，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，F点是CD的中点。？证明：AF⊥CD。分析：为了证明AF⊥CD，而F点是CD的中点，联想这是等腰三角形的唯一性质。所以连接AC和AD，证明AC=AD，并利用等腰三角形的“三线合一”性质得出结论。证明△ABC和△AED中AC和AD的联系是AB AE (已知) ABC AED (已知) BC ED (已知)∴△ABC≌△AED(SAD)∴AC=AD等于）ABEC FD 和 ∵△ACD 其中 AF 是 CD 边中线（已知）∴AF⊥CD（等腰三角形底上的高度与底上的中线重合）三、练习（一），多项选择题 1. 等腰三角形的对称轴是 () A. 顶角的平分线 B. 底边的高度 C. 底边的中线 D. 底边的高度所在的直线边位于 2. 等腰三角形的两条边为 4cm 和 9cm，那么三角形的周长是 () A. 17cm B. 22cm C. 17cm 或 22cm D. 18cm3. 等腰三角形的顶角是 80°，那么腰高与底边的夹角为() A. 40° B ．50° C．60° D．30° 4. 等腰三角形的外角为80°，则其底角为( ) A. 100° B. 100° 或 40° C. 40° D. 80 °5。如图1所示，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边，AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数为（ ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 108°G ECABDFHAEF 答案：图 1BDC1。 D 2. B 3. A 4. C 5. B如图2（二），填空题6.等腰△ABC底角为60°，所以顶角为________度。7 . 等腰三角形“三线合一”的意思是_________ 8. 等腰三角形的顶角是n°，那么两个底角的角平分线之间的钝角是_________。 9. 如图2，AB =AC in △ABC, EB=BD=DC=CF, ∠A =40°, 那么∠EDF?的度数是_____. 10. △ABC, AB=AC. D点在BC边上(1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD为中线，∴∠________=∠________；____⊥________；（3）∵AD⊥BC∠______∴ =∠_______;_______=_______．11. 在△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________. 12.已知AD是△ABC外角的平分线∠EAC，如果AD∥BC，△ABC?的边必须满足________。 13．△ABC中，∠C=∠B，D和E分别是AB和AC上的点，?AE=?2cm，?和DE ?∥BC, 那么 AD=________. 答案: 6.60 7. 等等. 高度 o n 腰三角形的底、底上的中线、顶角的平分线重合 8. (90 + 1 n)° 9.70° 10. 略 11.1 212. AB=AC13. 2cm（三）、答题14.30海里实用标准15.如图，CD为△ABC的中线，CD=1 AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？得出什么结论你能从2中得到吗？请描述与你的伙伴交流ADCB16.如图所示，在四边形ABCD，AB=AD，CB=CD中，验证：∠ABC=∠ADC.ABD17.如图, BA=BC in △ABC, D点是AB A点在延长线上，DF⊥AC过F到BC到E,?证明：△DBE是等腰三角形CD BEAFC答案：15.∠ACB=90°结论：如果一个三角形一侧的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是直角三角形 16. 连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵CB=CD， ∴∠CBD=∠CDB.∴∠ABC=∠ADC17.证明∠D=∠BED文档实用标准等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则直角边它的面等于斜边的一半。已知：如图所示，在Rt△ABC , ∠C=90°, ∠BAC=30°。验证：BC = 1 AB。 2AACBBCD分析：受三角尺摆的启发，将BC延伸到D，使CD=BC，连接AD。 【例5】右图为屋架设计的一部分，D点为斜梁AB与横梁AC垂直，AB=7.4m，∠A=30°，柱BD，DEB D分析：观察图形可以发现Rt在△AED和Rt△ACB中，AE CDE = 1 AD，BC = 1 AB，D是AB的中点，所以22【例】等腰三角形的底角为15°，腰长2a。找高腰。 BC 和 DE 列应该多长？由于∠ A=30°，所以DE=1 AB。 4 已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC=2a，∠高在AB上。 B问：CD的长度。 ABC=∠ACB=15°，CD为腰D AC分析： 观察图形，在Rt△ADC中，AC=2a，∠DAC为△ABC的外角，则∠DAC=15°× 2=30°，根据直角三角形，面向30°角的边为斜边的一半，可得CD。等边三角形一、复习知识点1.三边相等的三角形叫等边三角形，也叫等边三角形。 2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，每个内角等于60°3。等边三角形如何确定：（1）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三个等边角的三角形是等边三角形；（3）的角为60°等）腰三角形是等边三角形.文档实用标准4.在直角三角形中，如果锐角等于30°，那么它所面对的直角边等于斜边的一半。二、实践（ 一），多项选择 1.正△ABC的两条角平分线BD和CE相交于I点，则∠BIC等于() A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 2.下列三角形：①有两个等于60°的角；②有一个等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点一个外角）都相等；④一个腰部的中线也是这个腰等腰三角形的高度，其中有等边三角形() A. ① ② ③ B. ① ② ④ C. ① ③ D. ① ② ③ ④ 3.如图所示，D、E、F为点EA等边△ABC的ch边，AD=BE=CF，那么△DEF的形状？是 () A. 等边三角形 B. 腰底不等边的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 非等边三角形 A FDBECAD E12BC4.在Rt△ABC中，CD为斜边AB的高度，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度为() A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm 5.如图图中，E在等边三角形△ABC的AC边点∠1=∠2，BE=CD，那么对于△ADE的形状最有准备的判断是（ ） A.等腰三角形B.等边三角形C.非等边三角形 D.形状无法确定答案：文档 实用标准 1.C 2.D 3.A 4.C 5.B（二），填空 6.△ABC，AB=AC，∠ A=∠C，则∠B=_______. 7.已知AD为等边三角形△ABC的高，BE为AC边的中线，AD与BE相交于F点，则∠AFE=______. 8.等边三角形为一个轴对称图形，它有______个对称轴等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，分别是____________。 9.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB在D点与BA的延长线相交，则长度CD的？是_______。答案：6.60°7.60°8.三；三边的垂直平分线9.1cm（三），解题10。已知D和E分别是等边△ABC中AB和AC上的点，AE=BD BE和CD的夹角是多少？ 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC与BC相交？在 D 点，？证明： ?BC=3A D. ABDC12。如图，给定点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE？都是等边三角形。 BE到AC到F，AD到CE到H，①验证：△BCE≌△ACD； ②验证：CF=CH； ③判断△CFH的形状？并说明原因。记录实用标准 AEFHBCD13。如图，点E为等边形△ABC内的点，EA=EB，△ABC外的点D满足BD=AC，BE平分∠DBC，求∠BDE的度。 （提示：连接 CE） A D 答案：10. 60° 或 120° 11. ∵AB=AC, ∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°, ∴CD=?2AD in Rt△ADC,? ∵∠BAC=120°,∴∠BAD=120°-90°=30°,∴∠B=∠BAD,∴AD=BD,∴BC=3AD 12.①∵∠ACB=∠DCE=60°,∴ ∠BCE=∠ACD。又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD； ②证明△BCF≌△ACH； ③△CFH为等边三角形。 EBC 文档实用标准 13. 连接CE，先证明△BCE≌△ACE 得∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE?≌△BCE 得∠BDE=∠BCE=30°Ⅲ。课堂练习，变体训练练习1：请学生做课本第51页练习的第一个问题。同时老师在黑板上加了一道题：求一个等腰三角形的内角数：（1）在等腰三角形中，有一个角是36°。（2）在等腰三角形中，角度为110°，学生思考、练习，指导教师，给出答案，然后引导学生总结上述类型题的规律。

总结：知道等腰三角形的一个内角的度数，求其他两个角的时候，(a)如果已知角是钝角或直角，那么它一定是顶角； (b) 如果已知角是锐角，它可能是顶角或底角。在本次变体训练中，教师应重点关注：（1）学生等腰三角形的性质是否可以正确使用；（2）学生等腰三角形的地窖是否一定是尖角；（3）学生吗注意对很多可能的情况；（4)学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是钝角，而底角必须是锐角。设计意图：及时巩固所学知识，理解提高学生的学习效果，增强学生的应用能力 培养学生在学习知识时分类和讨论思想的能力。同练习2：已知：在△ABC中，AB=AC，BD=DC。 ②当AD=4时, BC=6, 求SABC ②当B 50, 求度数1. 文献实用标准① AB AC, BC DCAD BC (等腰三角形地边中线,底边高重合) AD 4, BC 6SABC1 2AD? BC1 24612 解：② AB AC, BC DC1（t 上的 2 个等腰三角形中线底边，顶点的角平分线重合）和B 50，AB ACC B 50（等边等角） BAC 180 2 50 801 2 40 解：练习2的主要训练 是针对学生的学习应用等腰三角形2的性质解决问题。

设计意图：及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，培养学生分类讨论的思维。 Ⅳ．应用深化、巩固和改进 例：在△ABC中，AB=AC，D点在AC上等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。课本样题，学生讨论题，教师参与讨论，认真聆听学生分析，引导学生找出角点之间的关系，写出答题过程。解A：因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDA，∠A=∠ABD（等边等角）设∠C=x，则∠BDA=∠A+∠ABD = 2 xDBC 因此∠ABC=∠C =∠BDA=2 x 所以在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°可以解x=36°。文献实用标准在△ABC，∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。通过样题的讲解，教师应重点关注：（1）students 能正确应用等腰三角形的性质解决问题；（2）students 应用所学知识。设计意图：培养学生应用所学知识）学过正确的知识）应用能力，增强应用意识，参与意义，巩固所学知识的本质。 五、课文小结请先取出等腰三角形切开，并与小组学生结合图形指出你所知道的 等腰三角形的两个底角相等（简称“等角”）；顶角的平分线，底边的中线，底边的高等腰三角形的重合。

教师注重：①归纳总结能力； ②不同层次学生对本节知识的理解程度； ③学生独立面对和克服困难的能力。设计意图：总结和复习学习内容，帮助学生总结，激发学生主动参与的意识，为每个学生创造机会在数学学习活动中体验成功，为不同层次的学生提供充分展示自我的机会。 一、 多项选择题（每题6分，共30分）每道题只有一个正确答案。等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的总和是（ ） A. 3B． 5C。 7D。 92.在射线、角和等腰三角形中，它们()轴对称图形都是B。只有一个是C。只有一个不是D。3个都没有。如下图：在△ABC中，AB=AC，∠ A=36°，D为AC上的点，若∠BDC=72°，图中有()个等腰三角形。 A. 1B. 2C。 3D。 4 文档实用标准 4. 三角形中有一个点，它到三角形三个边的距离相等，并且到三角形三个顶点的距离也相等，那么这个三角形一定是()A。等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 非等腰三角形 D. 等边三角形 5. 在△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的夹角为50° ，则∠B等于()A。 70°B。 20° 或 70°C。 40° 或 70°D。 40°或20°二、填空题（每题6分，共30分） 1.等腰三角形的外角是130°，所以顶角的度数是_______________。

2.在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB在D中，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________ 3.如下图： △ABC中，AB=AC，DE为垂线AB与AB、AC相交于D、E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE=______________。文档实用标准 4. 等腰三角形的两个角之比为1:10，顶角的度数为__________________。 5. 如下图： 等边△ABC，D为形状外的一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。 三、绘画题（6分），只画图，不写方法。如左图：直线MN和点A和B。在直线MN上做点P，使得∠APM=∠BPM。 四、答题（第一题12分，2、3题每题11分） 1．已知：如△ABC所示，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD，CE交给H。验证：HB=HC。 2.已知：如图：等边△ABC、D、E分别是BC和AC上的点，AD和BE相交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，则验证：MN 1 BN。

2 文献实用标准 3.已知： 如图：△ABC中，AD⊥BC在D处，∠BAC=120°，AB+BD=DC。求：∠C的度数。可选题： 已知： 如图：在△ABC中，D是BC上的前一点，P是AD上的前一点。如果∠1=∠2，则PB=PC。证明：AD⊥BC。参考答案一、 多项选择题（每题6分，共30分） 每题只有一个正确答案 文件实践标准1. C2. A3. C4. D5. B 二、填空题（每题6分，共30分） 1.50° or 80° 2. 6 3.10, 15° 4.150° or 60 75.30 三、绘画题（6分），只画图图片，而不是写作方法。 四、答题（第一题12分，2、3题每题11分） 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同△中边等角）∵CE ⊥AB , ∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形的两个锐角互补）同理是∠2+∠ACB=90°, ∴∠1=∠2, ∴HB =HC（同△中角相等）2．证明： ∵等边△ABC, ∴AC=BA, ∠C=∠BAC=60° 文献实用标准在△ABE和△CAD, ∵BA=AC, ∠BAC=∠C, AE=CD, ∴△ABE ≌△CAD (SAS) ∴∠2=∠1 ∵∠BNM=∠3+∠2,∴∠BNM​​=∠3+∠1=∠BAC=60°∵BM⊥AD,∴∠4+∠BNM=90 °,∴∠4=30°∵BM⊥AD,∴MN 1 BN（在直角三角形中，30°角的直角边等于斜边的一半） 23.解：将DB延伸到E，使BE=AB，链接AE，则∠1=∠E。

∵∠ABC=∠1+∠E, ∴∠ABC=2∠E ∵AB+BD=DC, ∴BE+BD=DC, 即DE=DC ∵AD⊥BC, ∴AE=AC, ∴∠ C=∠E,∴∠ABC=2∠C ∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=120°∴2∠C+∠C=180°-120°=60°,∴∠C=20°答：∠C的度数是20°。选取文献实用标准作为问题的证明：使PM⊥AB in M, PN⊥AC in N ∵∠1=∠2, ∴PM=PN in Rt△BPM and Rt△CPN in PM PN PB PC∴ Rt△BPM≌Rt△CPN(HL) ∴∠ABP=∠ACP ∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。 ∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。 ∴AB=AC,∵∠1=∠2∴AD⊥BC文档

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