【每日一题】等腰三角形的判定定理（二）

等腰三角形练习知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，因此∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的夹角平分线，底边上的中线，底边上的高，相互重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC，∠1=∠2∵AB=AC，AD⊥BC∵AB=AC，BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC∴∠1=∠2，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。说明：在等腰三角形中常常添加辅助线，尽管“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线相互重合，如何添加要依照具体情形来定，作时只作一条，再依照性质得出另两条”。知识3：等腰三角形的判断定理（1）文字语言：若是一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：等腰三角形的判断定理揭露了三角形中角与边的转换关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相同关系转化为边的相同关系的重要依据，是本节的重点。说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方式（如作顶角的平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用概念2、利用定理。知识点4：等腰三角形的结论1.推论：推论1：三个角都相等的四边形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的直角三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，若是一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。知识点5：等腰三角形中经常使用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线能够把顶角和底边折半，因此常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，尽管顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都能够，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情形来定。一、知识点回忆等腰三角形的性质：△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C∴_____=_____．二、基础题P第1题.已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另Q两角为________________．第2题.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的MN平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）DA．2B．3C．4D．5P第3题.如图1，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，AEͼ7垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，图8MQ=a，则△MGQ周长是（）AABCͼ9DMQNOͼ1BDECͼ2BBC第13题.如图8，PQ为Rt△MPN斜EPQC边上的高，∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（）ͼ3ͼ4A．8+2aB．8+aC．6+aD．6+2a第4题.如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的端点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（）A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm第5题.如图3等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，已知:P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．A．1个B．2个C．3个D．4个第14题.等腰三角形的两侧长为3和6，则那个三角形的周长为（）A．9B．12C．15D．12或1第15题.如图9，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（）A．115°B．100°C．130°D．140°第16题.下列命题正确的个数是（）第6题.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．第7题.如图4，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．①若是等腰三角形内一点到底边两头点的距离相等，那么过这点与极点的直线必垂直于底边;②若是把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的直线，那么延长线段的两个端点与极点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上第8题.等腰三角形底角的内角比顶角的锐角大一点到底边的两头点距离相等．30°，则那个三角形各内角度数是________．第9题.等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________．第10题.如图5，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______．A．1个B．2个C．3个D．4个第17题.等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）A．42°B．60°C．36°D．46°第18题.等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是AFEͼ5（）AA．120°B．150°C．60°D．90°E第19题.如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠ͼ6BDCBDBAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）CA．10°B．12．5°C．15°D．20°第11题.如图6，,ABC是等腰三角形，D为BC上一点等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，AAADE∥AB且交AC于E，请判定△EDC是什么三角形?并说明理由．ͼ10DD第12题.如图7，已知AE平分∠DAC，AE∥BC，那么AB=AC吗?请简要说明理由．ͼ11ͼ12ABEBDCCBCP第20题.如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（）A．15°B．18°C．20°D．°第21题.已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探讨∠DBC与∠A的关系并说明理由．D．不能作符合条件的等腰三角形AE1第22题.若是一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它必然是（）B第31题.如图，在A△ABC中，BC=5cm，BP、CP别离A．等边三角形B．等腰三角形是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则C．不等边三角形D．不等腰钝角三角形第23题.如下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE别离是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（）A．12B．10C．9D．8第24题.一个等腰三角形的一个内角为90°，那么那个等腰三角形的一个底角为（）A．90°B．45°C．50°D．°第25题.等腰三角形的两条边长别离为15cm和7cm，则△第P3D2E题的如周图长，E是E_是__O等__边__△_D_A__BCcm中.AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最预备的判断（）BCA．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确信形状二、解答题1．如图，已知AB=AC，E、D别离在AB、AC上，BD与CE交于点F，?且∠ABD=?∠ACE，求证：BF=CF．它的周长为（）A．37cmB．29cmC．37cm或29cmD．无法确定第26题.△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的平行平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．第27题.已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°，那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______，CD2．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交ABC于E，?EB求证：△DBE是等腰三角形．点C的对应点是_______．第28题.在△ABC中，边AB、BC的平行平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是_________第29题.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E别离是BC边上的两点，3.如图,已知：A点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE且知足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，BDEC别离是________________________．图中全等的四边形有___对，别离是_____________________________第30题.已知线段a，b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（）A．只能作以a为底边的等边三角形B．只能作以b为底边的等边三角形C．能够作别离以a、b为底的直角三角形4.如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC5.已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC9.如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，?求证：?BC=3AD.三、探讨题1．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D知足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数（．提示：连接CE）A7．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判定△CFH?的形状并说明理由．BDC2．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC?交AB于E，求证：AE=BE．AEFHBCDB8.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。3．如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD．4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。AD1BMCE