中考语文复习必备教案等腰三角形.doc 9页

中考语文复习必备：等腰三角形知识点回顾知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角等腰三角形的两个底角 .例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）A．30o B．40o C．45o D．36o 分析：根据等边对等角的性质可知：∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠BAD＝∠ABD．因此就有∠ABC＝∠C＝∠BDC，因此若设∠A＝x，则有∠BAD＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝2x．所以能列方程：x+2x+2x＝180°可以解得x＝36°．同步检测一：1.在△ABC中，AB＝AC，①若∠A＝70°，则∠B＝ °，∠C＝ °②若∠B＝40°，则∠A＝ °2.（08嘉兴）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个直角三角形的夹角为（ ）Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65°知识点二：等腰三角形的性质——三线合一等腰三角形的 、 、 互相重合。例2：如图，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC解：过点A作AF⊥BC∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF ∴AF垂直平分BC ∴AB＝AC同步检测二：1.在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝70°，BC＝10㎝，则BD＝ ，∠BAD＝ °知识点三：等腰三角形的判断——等角对等边在△ABC中，如果∠A＝∠B，则有 ＝ 例3：如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于E，求证：△BED是直角三角形．解：∵BD是∠ABC的角平分线 ∴∠ABD＝∠CBD∵DE∥BC ∴∠CBD＝∠BDE ∴∠ABD＝∠BDE∴BE＝DE∴△BED是直角三角形同步测试三：1.在△ABC中∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝10㎝，则AB＝ ㎝知识点四：等边三角形的性质与判断等边三角形的三条边都相同，三个角都相等且都等于 ° 都相同的三角形是等边三角形； 都相同的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形例4:如图，C为直线AB上一点，△ACD，△CBE是等边三角形，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N，AE交BD于点O．求证：⑴AE＝BD ⑵∠AOB＝120° ⑶△CMN是等边三角形分析：⑴根据等边三角形的性质可用SAS证明△ACE≌△DCB，则得AE＝BD同时可得∠CEA＝∠CBD，⑵因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之跟得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°⑶易知∠DCE＝60°，故只需证△MCE≌△NCB即可.同步检测四：1．若△ABC是等边三角形，D为AC的中点，则∠DBC＝ °2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角为60°的等边三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）均相同的三角形；④一腰上的中线也是这条腿上的高的等腰三角形。

其中可以确认是等边三角形的是 。知识点五：含30°的直角三角形的性质在Rt△中，30°的角所对的等腰边等于底边的 例5：如图，有一块形状为等边△ABC的空地，DE、EF为地块中的两条路，且D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，现已知AE＝5m，你能求出地块△EFC的周长吗？分析：易知△EFC为等边三角形，则只需求出其边长就能。而由含30°的直角三角形的性质能求出AD＝10m，从而得AB为20m，进而得CE为15m。同步检测五：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠A＝30°，BC＝2㎝，则BD＝ ㎝等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，AD＝ ㎝随堂检测：1．等边三角形ABC中，D为AC的中点，延长BC至E，使CE＝CD，若AB＝10，则BE＝ 2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3㎝，则CD＝ ㎝3．等腰三角形的一个外角为140°，则这个三角形的夹角为 °．4．等腰三角形的两侧长分别为9和4，它的周长为 ．5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，则BC＝ ㎝．6．如图，△ABC中，AB＝AC， ∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，则BF＝．7．（09广西河池）如图７，在Rt△ABC中，，AB AC＝，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且，则△的面积是（ ）A． 16 B． 18 C． D． 8．（09重庆）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm，则其腰上的高为 cm.9．（09重庆）如图，在矩形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60o. 1 求证：AB⊥AC； 2 若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .10.（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与直线CF， AF相交于P，M． 1 求证：AB CD； 2 若∠BAC 2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并表明理由．参考答案：1．15；2．3；3．40°或100°；4．17或22；5.５；6．４：7．Ａ；8．；9．证明： 1 ∵AD∥BC，AB DC ∠B 60°∴∠DCB＝∠B＝60°∠DAC＝∠ACB 又∵AD DC∴∠DAC＝∠DCA∴∠DCA ∠ACB＝∴∠B+∠ACB＝90°∴AB⊥AC（2）过点A作AE⊥BC于E∵∠B＝60°∴∠BAE＝30°又∵AB DC＝6∴BE 3∴∵∠ACB＝30°，AB⊥AC∴BC 2AB 12∴10．解： 1 证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD ∠DAB ∠BAC．∵D与A关于E对称等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，∴E为AD中点． ∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC CD． 在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也能得到AC CD）∠CAD+∠ACE ∠DAB+∠ABE 90°， ∠CAD ∠DAB．∴∠ACE ∠ABE，∴AC AB． （注：证全等也能得到AC AB）∴AB CD． 2 ∵∠BAC 2∠MPC， 又∵∠BAC 2∠CAD，∴∠MPC ∠CAD．∵AC CD∴∠CAD ∠CDA∴∠MPC ∠CDA． ∴∠MPF ∠CDM． ∵AC AB，AE⊥BC，∴CE BE．（ 注：证全等也能得到CE BE）∴AM为BC的中垂线，∴CM BM． （ 注：证全等也能得到CM BM）∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB， 等腰三角形三线合一 ∴∠CME ∠BME．（注：证全等也能得到∠CME ∠BME ）∵∠BME ∠PMF，∴∠PMF ∠CME，∴∠MCD ∠F 三角形内角和 ． 注：证三角形相似也能得到∠MCD ∠F同步练习：1．如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，则∠ACD＝ ，若AD＝2㎝，则△ABC的边长为 ㎝2．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的两倍 D．底角的一半3．如图，在△ABC中 ，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝ 4．若直角三角形的一个内角为50°，则其底角为 5．（09青海）方程的两个根是直角三角形的底跟腰，则这个三角形的周长为（ ）A．12B．12或15C．15D．不能确定6．（09包头）如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）．7．（09呼和浩特）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的面积分为15和12两个部分，则这个直角三角形的底边长为（ ）A．7 B．11 C．7或11 D．7或108．（09湛江）如图，在等边中，分别是的中点，，则的周长是（ ）A．6B．9C．18D．249．（09汕头）如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长至，使，（1）用尺规作图的方式，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．10．（09厦门）已知：在△ABC中，AB＝AC． 1 设△ABC的面积为7，BC＝y，AB＝x 2≤x≤3 ．写出y关于x的方程关系式，并在直角坐标系中画出此方程的图像； 2 如图，D是直线BC上一点，连接AD．若∠B＝∠BAD，求证：△ABC∽△DBA． 11．如图，已知正三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，①求证∠APE＝60°②如EF⊥AD，则判定PF与PE的大小关系，并给出证明。

12．（09湖南常德）如图9，若△ABC和△ADE为等腰三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转至图10的位置时，CD BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明原因；（4分）（2）当△ADE绕A点旋转至图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB 2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明原因．（6分）同步练习参考答案：1．12；2．B；3．3；4．50°或65°；5．C；6．；7．C；8．18；9．（1）作图见答案图，（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一），． ，．又，．又，，，．又，． 10． 1 解：y＝7－2x 2≤x≤3 画图象略 2 证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∵ ∠B＝∠BAD，∴ ∠BAD＝∠C. 又∵ ∠B＝∠B， ∴ △BAC∽△BDA. 11．⑴证△ABD≌△BCE SAS ；∴∠BAP＝∠EBC,∴∠APE＝∠ABE+∠BAP＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°⑵运用30°角所对的钝角边等于底边的一半可得PE＝2PF 12．（1）CD BE．理由如下: ∵△ABC和△ADE为等腰三角形 ∴AB AC，AE AD，∠BAC ∠EAD 60o ∵∠BAE ∠BAC－∠EAC 60o－∠EAC，∠DAC ∠DAE－∠EAC 60o－∠EAC， ∴∠BAE ∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD ∴CD BE （2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE ∠ACD．∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM ∵AB AC，∠ABE ∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．∴AM AN，∠MAB ∠NAC． ∴∠NAM ∠NAC+∠CAM ∠MAB+∠CAM ∠BAC 60o∴△AMN是等边三角形． 设AD a，则AB 2a．∵AD AE DE，AB AC， ∴CE DE．∵△ADE为等腰三角形， ∴∠DEC 120 o， ∠ADE 60o，∴∠EDC ∠ECD 30o ， ∴∠ADC 90o． ∴在Rt△ADC中，AD a，∠ACD 30 o ， ∴ CD ．∵N为DC中点， ∴， ∴． ∵△ADE，△ABC，△AMN为等腰三角形，∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM AN，NC MB．∵AB AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB ∠NAC ，∴∠NAM ∠NAC+∠CAM ∠MAB+∠CAM ∠BAC 60o∴△AMN是等边三角形设AD a，则AD AE DE a，AB BC AC 2a易证BE⊥AC，∴BE ，∴ ∴∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN ABCDEFABCDECBFAE图７第9题图ANCDBMABCDEACBDE第题图ABDC图9 图10 图11图8答案图ACBDEM图10CNDAMEB图11CNDABME