知识整理：等腰三角形知识技巧及奥数试题_数学_初中教育_教育专区

等腰三角形性质与判断知识点及精选练习题知识梳理知识点 1：等腰三角形的性质定律 1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC 中等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，因为 AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取 BC 的中点 D，连接 AD在△ABD 和△ACD 中∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相同）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相同。知识点 2：等腰三角形性质定律 2 （1） 文字语言：等腰三角形的锐角平分线，底边上的中线， 底边上的高，互相重叠（简称“三线合一”） （2）符号语言：∵AB=AC，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相同，线段相等或平行。说明：在等腰三角形中常常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、 底边上的中线互相重叠，如何添加要按照详细状况来定，作时只作一条，再依照 性质得出另两条”。知识 3：等腰三角形的判断公式 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相同，那么这两个角所对的边也相 等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言：在△ABC 中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过 A 作 AD⊥BC 于 D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD 和△ACD 中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：等腰三角形的判断公式揭示了三角形中角与边的转换关系，它是证明直线相同的重要定律，也是把三角形中角的相同关系转换为边的相同关系的重要根据，是本节的重点。说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其它证明方式（如作顶角的 平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方式有两种：1、利用定义 2、利用公式。知识点 4：等腰三角形的结论1. 推论：推论 1：三个角都相同的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等腰三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于底边的一半。知识点 5： 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线往往作为缓解有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常借助它来证明直线或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重叠，添加辅助线时，有时作那条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则必须作高或中线，这应视具体状况来定。一、知识点回顾等腰三角形的性质：△ABC 中，AB=AC．点 D 在 BC 边上（1）∵AB=AC， ∴∠_____=∠______；（即性质 1）（2）∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质 2）（3）∵AB=AC，AD 是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质 2）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质 2）等腰三角形的判定：△ABC 中，∵∠B=∠C∴_____=_____．二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题. 在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5第3题. 如图1，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）PAAQO12 BPQCMNGB D EC3A．8+2aB．8+aC．6+aD．6+2a第4题. 如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的端点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm第 5 题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为 6，则腰上的高为______．第 6 题. 等腰三角形有一个角是 50°，那么其它两个角的度数是____________．第7题. 如图D7，已知AE平分∠DAC，AE∥BC，那么AB=AC吗?请简要表明理由．PAE78BCMQN第8题. 如图8，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个第9题. 等腰三角形的两侧长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）A．9 B．12 C．15 D．12 或 1 第10题. 下列命题正确的个数是（ ）①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相同，那么过这点与顶点的线段必垂直于斜边;②如果把直角三角形的斜边向两个方向延长相等的直线，那么延长线段的两个端点与顶点距离相同;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相同;④等腰三角形高上一点到底边的两交点距离相同．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第11题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）A．42° B．60° C． 36° D． 46° 第12题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ）A．120° B． 150° C．60° D．90°第13题. 如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC， ∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（ ）AA．10°A B．12．5° C．15°AD． 20°D DE B DCBCBC 10 11 12第14题. 如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（ ）A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5° 第15题. 已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并表明理由．第22 题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其它两侧的距离相同，那么它一定是A（ ）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．不等边钝角三角形第16题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ）E ODA．12 B．10 C．9 D．8BC第17题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个直角三角形的一个底角为（ ）A．90° B． 45° C． 50° D． 22.5°第18题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）A．37cmB．29cmC．37cm或29cmD．无法确定第19题. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的 垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．C D第 20 题. 已知 Rt△ABC 是轴对称图形，且∠C＝90°，那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点 A 的对应点是______，点 C 的对应点是_______．第 21 题. 在△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线相交于点 P，则 PA、PB、PC 的大小关系是_________第 22 题. 如图，在△ABC 中，BC=5 cm，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是___________ cm.二、解答题1．如图，已知 AB=AC，E、D 分别在 AB、AC 上，BD 与 CE 交于点 F，?且∠ABD=?∠ACE， 求证：BF=CF．A D5. 已知：如图,BE 和 CF 是△ABC 的高线,BE=CF,H 是 CF、BE 的交点．求证：HB=HCEDFBCAB EFC2．如图，△ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DF⊥AC 于 F 交 BC 于 E，? 求证：△DBE 是直角三角形．3. 如图, 已知：点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE7．如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断 △CFH?的形状并表明理由．A4. 如图：△ABC 中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BCEFHBCD8.已知:如图，△BDE 是等边三角形，A 在 BE 延长线上，C 在 BD 的延长线上，且 AD=AC。

求证：DE+DC=AE。3．如图，△ABC 中，∠C=2∠B，∠1=∠2 ，试说明：AB=AC+CD ．9. 如图,△ABC 中,D 在 BC 延长线上,且 AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB, 交 AB 于 F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.三、探究题1．如图，点 E 是等边△ABC 内一点，且 EA=EB，△ABC 外一点 D 满足 BD=AC，且 BE 平分∠A DBC，求∠BDE 的度数．D4. 如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CE＝CD等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，DM⊥BC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。AEBC2．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD⊥AF 交 AF 的延长线于 D，DE∥AC?交 AB于 E，求证：AE=BE．AEBFCD1BMCE