二重积分的应用_曲线积分的应用_二重积分的应用z=x y

二重积分的计算及应用

学生姓名：*** 学号：***

学院：***专业：***

指导老师：*** 职称：***

摘 要：本文介绍了如何利用对称性来计算二重积分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算的方法．最后对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，也将给出两种不经消参数而直接计算的方法．

关键词：二重积分；被积函数；积分区域

The Calculate and Application of Double Integral

Abstract：The paper introduces the method of calculating double integral with symmetry,and then puts forward a calculating method by rebuilding integrand and domain of integration reasonably.At last,for the double integral which the boundary curve of its domain of integration is denoted by the panameter equation,it supplies a directed method which does not eliminate the parameter.

Key word：Double integral；Integralted function；Integral region

引言

二重积分是一类非常重要的积分形式，主要用于求平面面积，将实际问题数学化，有利于计算．

1.二重积分的定义

定义1 若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP，则称P为可求面积，并称其共同值IP?IP?IP为P的面积．

定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数．J是一个确定的数，若对任给的正数?，总存在某个正数?，使对于D的任何分割T，当它的细度T??时，属于T的所有积分和都有

?f(?,?)??ii

i?1ni?J??，

则称f(x,y)在D上可积，数J称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作

J???f(x,y)d?，

D

其中f(x,y)称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域．

2.二重积分的定理

定理1 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的??0，总存在直线网

T，使得SP(T)?sP(T)??．

定理2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零． 定理3 若曲线K为由定义在?a,b?上的连续函数f(x)的图象，则曲线K的面积为

零．

定理4 f(x,y)在D上可积的充要条件是：

S(T)?s(T)． ?0T?0

定理5 f(x,y)在D上可积的充要条件是：对于任给的正数?，存在D的某个分割T，使得S(T)?s(T)??．

定理6 有界闭区域D上的连续函数必可积．

定理7 设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数．若f(x,y)的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则f(x,y)在D上可积．

定理8 设f(x,y)在矩形区域D??a,b???c,d?上可积，且对每个x??a,b?，积分?d

cf(x,y)dy存在，则累次积分?dx?f(x,y)dy也存在，且 acbd

??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy． acbd

定理9 设f(x,y)在矩形区域D??a,b???c,d?上可积，且对每个y??c,d?，积分?b

af(x,y)dx存在，则累次积分?dy?f(x,y)dx也存在，且 cadb