欧拉定理 一周一定理No.3

在前两期

一周一定理No.1 中国剩余定理

一周一定理No.2 求一术与方程术

我们分别介绍了初等数论中的两个基本结果，中国剩余定理与求一术（及其推广方程术）。与其说它们是定理，还不如说它们是算法。算法与普通的定理有个差别，算法应用起来是要操作整个过程，而定理可能只需要你会用最终结论。所以你要掌握算法，就免不了要走一遍程序。也正是这个原因，不会跳跃的计算机很容易理解算法。记得编程大师高德纳(D. E. Knuth)有句名言：

所谓科学，就是能够教会计算机的东西。

他还说（大意）：只有当一个教师能够教会计算机了，才能教明白学生。

高德纳

今天我们介绍初等数论中一个地地道道的定理，历史上著名的欧拉定理。大数学家欧拉(Euler)有许多定理，我们这里所指的是下一个：

欧拉定理：设 n是正整数，a 是一个整数，且a 与 n互素，则

aφ(n)≡1(modn){\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}

再 见 用字母表示数 引入 定律和公式 小结 作业 练习 游戏揭秘 表示：1 表示：11 表示：12 表示：13 3 9 12 8 6 14 5 10 3 12 = = 5 6 30 7 8 56 4 9 3 21 a x = = a x 15 9 36 7 + + = 12 = n × 5 = 15 n = m = 2、4、6、m、10、12 或 这些符号和字母 可以用来表示数。 9a表示（） 45.6b表示（） 45.6b – 9a表示（） 9a + 45.6b表示（） * * let’s… 4.用字母表示数量关系 2.用字母表示运算定律 1.用字母表示数 3.用字母表示计算公式 你还见过生活中哪些 用字母表示数的例子。 { 第一步：写出字母公式 第二步：把字母表示的数值代入公式 第三步：计算 应用公式求值的步骤： 注意： 用字母表示数 用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来很多方便。

黄山市祁门县小龙虾种苗供应||行情黄山市祁门县小龙虾种苗供应||行情的问题ｎ三、“十二五”期间我农业农村新机遇】、2015-2020年中农业发展变化趋势电五、2015-2020年有机农业前景广阔话第部分农业行业发展模 式 及策略：第十一章农业发展模 式 ４第 一 节发达家农业产业化经营模 式 ０一、农业产业化的内涵０二、外农业产业化模 式 ６2015-2020年中 國 農業 市場調查研究及發 展趨勢趨勢報告三、农业产业化经营模 式 类型１、外农业产业化经营的特24小时电话：18936943567（微 信 同号）qq号:2438871964。图左部分的中央黑点为当前关键点的位置，每个小格代表关键点邻域所在尺度空间的一个像素，利用公式求得每个像素的梯度幅值与梯度方向，箭头方向代表该像素的梯度方向，箭头长度代表梯度模值，然后用高斯窗口对其进行加权运算，每个像素对应一个向量，长度为，为该像素点的高斯权值，方向为， 图中蓝色的圈代表高斯加权的范围（越靠近关键点的像素梯度方向信息贡献越大）。冷却系统的加工：冷却系统的加工(钻运水) ， 产品一般要求前模运水在发第一次改模资料时需加工，后模运水在发第二次改模资料后需加工欧拉旋转 定理， 但对于运水开启与否对啤作影响较大的情况， 如pc料的啤作（需打热油啤作情况） ， 尽量在第一次试模前开启。

表示a-b 是 m 的倍数，或者可以等价的说, a除以m的余数（用带余数的除法）与b 除以m的余数相同。

其实在生活中，我们经常用到同余的观念。例如，你如果问一个小朋友：假设现在是中午12点，那么再过12个钟头，是几点？他很可能回答说，是0点（如果他有0的概念的话）。这是因为一天有24个小时，在模24的意义下，24与0是一样的。

一个更简单而往往被忽略的，是下述电影海报上的等式：在模2意义下，2=0. 它的一个生活常识解释是：开关的运算法则是，两次操作，回复原位。模2运算同时也是数理逻辑的基础（也许常常称为布尔运算）。

又如今年（2018年）国庆节是星期一，由此可知明年的国庆节是星期二，因为

Question1: 2020年的国庆节星期几？（注意，这里有个坑）

再如，如果我告诉你某个人的出生年份欧拉旋转 定理，那么你可以推出他的属相。例如，

高斯出生于1777年，那么不难根据

推出高斯属鸡（2017年是鸡年）.

Question2: 出生于1642年的牛顿(Newton)的生肖是什么？

在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数φ(n)，用多种方法证明了费马小定理。连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.。虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.。

历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。对于电脑是“真脑”还是“皇帝的新脑”,还存在很大的争议,有很多的问题需要解决,很多都是现在世界上的顶尖科学家研究的尖端课题.各方面研究都表明,人脑在“运算”时,的确与电脑的基本原理是一样的,只不过电脑是用电子元件的“开、闭”和电信号的传递体现,人脑则表现为神经原的“冲动、抑制”和化学信号（当然也包括电信号）的传递.这与哥德尔定理的条件没有本质上的差别.而认识过程中的“思维是客观实在的近似反映,语言是思维的近似表达”这点,正是受哥德尔定理限制的结果.就拿语言（指形式上的）来说,完全可以转化为有限公理和一定规则下的符号逻辑系统,也就是一种符合定理条件的形式公理系统.该定理恰恰说明,这样的系统中不完备,存在不能用该系统证实的命题,对于这个系统来说,就是语言对思维的表达不完全,也就是我们常说的“只可意会,不可言传”.这也与我们经常感觉到的“辞不达意”是相吻合的,任何形式上的语言都不能完全准确的表达我们的思想.还有另一个事实也说明这点,就是翻译.文对文的形式语言翻译虽然不难,可是如实地表达原来语言中的准确蕴义就非常难了,甚至可以说是不可能的事情.如果能证明人类的思维也可以转化为这样的形式公理系统,那人脑也一定受哥德尔定理的限制.。，再加以解决.应用吴方法建立的程序系统已经证明了数百条高难度的几何定理，同时还发明了若干新定理.吴方法还可用于证明非欧氏几何中的定理，并能证明若干微分几何定理，及解决微分方程中的某些定性问题. 用吴方法判定一个命题，其本质是判定一组多项式的公共零点集是否被包含于另一多项式的零点集的问题.分三步进行:第一步是把所给命题化为代数形式.第二步是整序，即把刻画命题条件的多项式组ps经整序化为升列as.第三步是求余，即将刻画命题结论的多项式g对升列as约化求余式r. 若r为。

这个定理的一个特例是n=p是素数的情况，此时

这一点根据定义也很容易看出。在这个特殊情况下，欧拉定理退化为费马小定理：

注：历史上先有费马小定理，而后有欧拉定理，因此欧拉定理也被称为费马-欧拉定理。

Question3: 用数学归纳法证明第二种表述的费马小定理。

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图为：三星sgh-i728的cpu性能比较结果 在重点考察cpu运算能力、四个成绩越大越好的“整数加法、整数乘法、浮点加法和浮点乘法”测试中，三星i728囊括了所有的第一，再次显示了这颗marvellpxa310(monahan-lv) 624mhzcpu的强大。小数乘法的意义是在学生已经学习过“元、角、分与小数”、“小数的意义”、“小数的加减法”和掌握了“整数乘法的意义”基础上进行教学的，它是在整数乘法意义的基础上的进一步扩展。例7：整数乘法运算定律扩展到小数，结合具体算式说明整数乘法运算定律对于小数乘法同样适用，例7应用乘法运算定律进行简便运算。

Question4: 请利用第2期介绍的求一术或方程术证明上述定理。

另一方面，我们也可以对模n下的（乘法）可逆元给出另一个解释。这就涉及到另一个群，即整数在模n下的加法群。这个群是一个循环群（注：循环群是最简单的一类群），其阶数恰好等于n. 这个循环群的生成元，恰好就是那些与n互素的同余类。以n=12为例，容易看出， 1,5,7,11恰好是模12的加群的生成元。这一点（主要是5)很早就被中国古代的音律学家发现了，在《吕氏春秋》之《音律》篇中我们可以读到：

黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。

指的就是，在模12的加群下, 从7 出发，反复加7, 将遍历各个同余类，依次得到

7（黄钟）→14=2（林钟）→9（太簇）→16=4（南吕）→11（姑洗）→18=6（硬钟）→13=1（蕤宾）→8（大吕）→15=3（夷则）→10（夹钟）→17=5（无射）→12（仲吕）

如下图所示（引自程贞一《黄钟大吕》，王翼勋译，上海科技教育出版社，104页）：

Question5: 写出在模12的加群下, 从5出发，反复加5, 依次得到的各个同余类。

注：应该指出，在音律中有对称，有群（你可以大致认为，群就是对称生成的）。这里的模12加群与十二平均律有关。在几何上对应着一个正十二边行的旋转群。正如正十二边形的对称，除了旋转，还有关于对称轴的反射；音律群里除了对应着旋转的变调，还有对应着反射的转位。因此，主导音乐的对称群是正十二边形的对称群，也就是24阶的二面体群。对此有兴趣的读者，我们推荐一篇漂亮的文章：

 作直素线作水平圆（纬圆）作水平圆（纬圆）（3）圆锥面上的线 (可能是直线、平面曲线或空间曲线）s' s"sa'b'(c')分析bac不通过锥顶，故为曲线不通过锥顶，故为曲线作图①找特殊点②求h、w面投影③光滑连接曲线①找特殊点②求h、w面投影③光滑连接曲线d' (e')acbd"e"(a")b" c"deeabcd3、圆球面上取点、线vwa'bc"oo外形轮廓线投影的对应关系球面投影可见性判断外形轮廓线投影的对应关系球面投影可见性判断（1） 特殊点 （指在外形线上的点）aa&rsquo。握 和 刷 两 但读 者 不 难 发 现 ，两 篇 作 品 虽 然 题 材 迥 异 ， 但 却 有 着 共 同 的 出 发 点 和 着 眼 点 — — 对 弱 势群 体 的保 护 。张嘉译老师对于《白鹿原》的每一个角色都有精心的挑选，当然，他在剧中的表现真的就给我一种族长的踏实感，连走路的样子我都觉得没错，这就是一个陕西的面朝黄土背朝天的农民，不论大小演员，割麦子、锄地、纺织、作面、做农活等都充分的呈现在剧中，生活常态体现的非常自然，风土人情的感觉体现的淋漓尽致，最重要的是我看完全剧之后真的非常想吃这陕西的面……看他们吃起来的感觉真的是。

Alissa S. Crans、Thomas M. Fiore、Ramon Satyendra，音乐中的二面体群作用，中译文收入“数学与人文”丛书第17辑《数学的艺术》，丘成桐；刘克峰；杨乐；季理真 李方主编，高等教育出版社，2015年。

最后，回到欧拉定理本身，为加深你对这个定理的印象，我们再给出一个练习：

Question6: 已知 2017是素数，求

小结：欧拉定理体现了这样的观念，在整数中存在着结构（在这里，就是群）。有了这样的观点，许多东西理解起来会比较简单而深刻，因为一些表面上不同的东西可以得到统一。陈省身先生曾经说，真正重要的观念是很少的，毫无疑问，群是其中一个。

P. S. 写到这里，我回想起从前念书时，我读到的第一个很喜欢的观念，就是群作用。当时我在田代军老师的指引下，自学Jacobson的《基础代数》中译本。